数学分析期末试题new

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1、A一、计算题（每小题6分，共60分）21、已知函数uxyz，求梯度gradu及其梯度的散度divgradu.uuu解：2,xz,y,xyzgraduxzy{2,,},---------------------------------------------------------3分()gradu()()gradugradudivgradu()2.--------------------3分xyz2x222、设曲线Ly:=1的周长为l，求(2)xyds.4L222解：(2)xyds(4)4xyds44.xyd

2、sdslLLLLx0,y1yx2y23、设D是由及围成的区域，计算xedxdy.D2_y解：因为edy无法用初等函数表示，所以积分时必须考虑次序，322_2y2y2y2y22111yyyxedxdydyxedx000e0dyedy..33D12(1).3e2221xy224、设Dx:,yr求limcos().exydxdyr2r0rDr解：由积分中值定理，存在(,),D使得rxy22222ecos(xydxdy)ecos().rDr于是222原式=limercos()..r0

3、222xyz25、设为椭球体2221,计算(xyzdxdydz).abc解法一：作广义极坐标变换：Page1of7AxarsincosTy:brsinsinzcrcos则T的Jacobi行列式为2J(,,)rabcrsin所以2()xyzdxdydz222[()2xyzxy22]xzyzdxdydz222()xyzdxdydz21222222224000ddabcabcr(drsincossinsincos)sin22222222222ab

4、cdabcd(sincossinsincos)sin5002222222abcabcd(2cos2sin)504222abca().bc152222解法二因为()xyz()222,xyzxyxzyz且xyxzyz,,分别关于xyz,,的奇函数，所以2xydxdydz0,20,20.xzdxdydzyzdxdydz于是2()xyzdxdydz222[(xyz)2xy2xz2]yzdxdydz222()xyzdxdydz又因为c22zdxd

5、ydzzdzdxdycDz222xyz其中Dxy{(,)

6、1}.z222abc22cc2z243于是zdxdydzzdzdxdyab(1)zdzabc,ccc215DzPage2of7A232344同理，xdxdydzabcydxdydz,abc151522224故()x(yzdxdydz).abcabc1522226、计算积分()x,ydxdydz其中是由zxyz,2围成的区域.解：作柱面坐标变换Txr:cos,yrsin,zz则积分区域的表达式变为{(,,

7、)

8、rzrz2,02,0r2},22216223因此()x.ydxdydzdrdrdz00r527、计算2,xydxxdy其中L为有向折线OAB，这里OAB,,依次是点(0,0),(1,0),(1,1).L222解：L2xydxxdyOA2xydxxdyAB2xydxxdy10(2.01)ydy01.222xyz4和平面xyz0,0,0所围成的在第一卦限的8、设是由球面222空间区域，则三重积分fx()dyzV在球坐标系下的累次积分为22222解000ddfrrdr(

9、)sin22222229、计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy,其中是球面xyzRz(0)的上侧.解法一：因为是关于Oyz平面对称的上半球面，所以上关于Oyz平面对称的元素在iOyz平面上的有向投影正好抵消，被积函数关于x是偶函数，故由定义可得，i2xdydz0.Page3of7A2同理，ydzdx0.2R2222224所以原式=zdxdyRxydxdy()d(R).rrdrR00x