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1、因式分解应用例析 一、用于计算 例1 计算. 【分析】若按常规思路从左到右逐个运算，比较麻烦；设法进行简便运算.观察整个算式,不难看出每一个因式都是两数的平方差,于是可以将每个因式分解,得以求解. 解: = = = =. 【点评】本题如果按照常规思路来解,比较困难,通过分析认真分析式子的结构、发散思维，运用所学知识，利用因式分解，使问题得以简捷解决. 例2 计算. 【分析】 仔细观察算式发现：最后两项可分解因式，提公因式2后得，再依次和前一项进行类似计算. 解： = =
2、 = ＝……=6. 【点评】本题逆向思考，从最高的两项进行因式分解，逐次提取公因式，达到消项的目的. 例3 阅读下面的解题过程，然后回答问题： （1）分解因式：. 解：原式= =. 设，则原式=. （2）计算：12345675 解：设1234567=x，则原式=. 利用（1）、（2）的解法计算：. 【分析】本题是属于阅读理解的题目，可仿照（1）、（2）用换元法，使问题变得简单些. 解:设2004=,, 则= == === =. 【点评】解决阅读理解这类题目的要点：要
3、认真仔细阅读题目中的语言文字信息、观察式子的特点，找出内在联系，写出求解过程.本题运用字母代数的特点，将被开方数转化为完全平方数，体现特殊与一般的思想方法. 二、用于求值 例4 已知实数满足,求的值. 【分析】本题对已知条件进行化简，并将分解因式，代入求值. 解：∵，∴，即：. ∴=. 例5 已知的值. 【分析】本题要充分利用“”这个条件,经过变式来求值.这里可将拆成两项,变为,再添加(. 解:∵， ∴=4. 【点评】将多项式变形或拆项，整体运用已知条件，体现“整体”与“分解”思
4、想的有机统一. 例6 已知a=+20，b=+19，c=+21，那么代数式的值是 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1 【分析】因本题所求代数式中含有a、b、c的平方项与二次乘积项与完全平方展开式所含的项基本相同，所以应想办法，如何造型利用公式法分解因式进行化简. 解：原式=5 当a=+20，b=+19，c=+21时，有：a－b=1，b－c=－2，a－c=－1， ∴原式=.故应选B. 【点评】本题通过配成完全平方式
5、，将条件代入，整体消元，方便简洁. 三、用于判断数的整除性 例7 已知可以被在60到70之间的两个数整除,则它们是 （ ） A．61、63 B．61、65 C．63、65 D．63、67 【分析】由联想到运用平方差公式进行因式分解，从而做出判断. 因为== =,而,=9×7=63,所以选择C. 【点评】利用因式分解判断数的整除性，大大的简化运算量.从而体现公式方便快捷. 例8 已知是正整数，且，那么数对（）为____________. 【解析】将变形分解，a2-b2=
6、45 分解得 (a+b)(a-b)=1×45=5×9=3×15 构造方程组，解得(23,22),(9,6),(7,2). 四·证明不等分式 例9 设是三角形的三边长,求证:. 【分析】本题是证明一个不等问题,想办法利用三角形三边的关系以及因式分解来证明. 证明:∵=, 又∵是三角形的三边长, ∴,， 即， ∴. 【点评】本题借助因式分解，将左边的多项式分解成一次因式的积，再根据三角形的三边的关系进行判断因式的符号. 五、用于判断三角形的形状 例10 已知是三角形的三边长,且
7、满足试判断△ABC的形状,并说明理由. 【解析】∵∴ 即：， ∴，∴.5 又是三角形的三边长,∴△ABC是等边三角形. 六、用于实际应用 例11 在半径为R的圆形钢板上，冲去4个半径为r小圆，如图所示，利用因式分解计算，当R=85cm，r=15cm时剩余部分的面积（结果用表示）. 【分析】 剩余部分的面积可以看成是大圆的面积减去4个小圆的面积，在运算过程中，利用因式分解有时可以使运算简化. 解：剩余部分的面积为:R-4r= ==(. 【点评】本题巧妙的运用因式分解，避免了半径的平
8、方运算，减小了运算量，使计算变得简便,迅速. 例12 如图所示,把三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为V,则当=34.9,=20.8,=32.3,I=2.5时,求V的值. 【研析】将因式分解的知识运用到物理学的运算当中,可减少运算量,使运算简化. 解：当=34.9,=20.8,=32.3,I=2.5时, ==2.5(34.9+20.8+32.3)=220. 【点评】根据物理学的知识，串联线路电压等于各部分电压之和，构造数学模型，运用因式分解中的提取
