因式分解拓展题及解答

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1、因式分解拓展板块一：换元法例1．分解因式：例2．分解因式：【巩固】分解因式：【巩固】分解因式：例3.证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【巩固】若，是整数，求证：是一个完全平方数.例4分解因式13【巩固】分解因式例5分解因式：【巩固】分解因式：例6分解因式：【巩固】分解因式：板块二：因式定理因式定理：如果时，多项式的值为，那么是该多项式的一个因式.有理根：有理根的分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数.例7分解因式：13【巩固】分解因式：【巩固】分解因式：例8分解因式：【巩固】分解因式：板块三：待定系数法如果

2、两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果那么，，…，，.例9用待定系数法分解因式：【巩固】是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?13【巩固】能否分解为两个整系数的三次因式的积?例10分解因式：板块四：轮换式与对称式例11分解因式：例12分解因式：13家庭作业练习1．分解因式：练习2．要使为完全平方式，则常数的值为________练习3．分解因式：练习4．分解因式：练习5．分解因式：练习6．分解因式：13练习1．用待定系数法分解：练习2．分解因式：补充题【备选1】分解因式：【备选2】分解因式：【备选3】

3、分解因式：13因式分解拓展题解板块一：换元法例1分解因式：【解析】将看成一个字母，可利用十字相乘得原式例2分解因式：【解析】方法1：将看作一个整体，设，则原式=方法2：将看作一个整体，设，则原式=方法3：将看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式.【巩固】分解因式：【解析】【巩固】分解因式：【解析】例3证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【解析】设这四个连续整数为：、、、原式【巩固】若，是整数，求证：是一个完全平方数.【解析】令∴上

4、式即例4分解因式【解析】原式设，13原式【巩固】分解因式【解析】原式原式例5分解因式：【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现：，故可设，则.故原式=.【巩固】分解因式：【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化计算过程，不妨设，【解析】则原式=例6分解因式：【解析】设，则原式=【巩固】分解因式：【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令板块二：因式定理因式定理：如果时，多项式的值为，那么是该多项式的一个因式.有理根：有理根的分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数.例7分解因式：

5、【巩固】的因数是，，的因数是，．因此，原式的有理根只可能是，(分母为1)，．因为，，于是是的一个根，从而是的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列，没有的补0：可得原式点评：观察，如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，则说明；如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明.13【巩固】分解因式：解析：本题有理根只可能为.当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验是根，所以原式有因式，原式容易验证也是的根，，所以【巩固】分解因式：解析：例8分解因式：【解析】常数项的因

6、数为，，，，，，把代入原式，得所以是原式的根，是原式的因式，并且【巩固】分解因式：【解析】如果多项式的系数的和等于，那么1一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么一定是它的根．现在正是这样：所以是原式的因式，并且板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果那么，，…，，.例9用待定系数法分解因式：【解析】原式的有理根只可能为，但是这2个数都不能使原式的值为，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．故或故，解得，所以事实上，分解式是惟一的，所以不

7、用再考虑其它情况.【巩固】是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?解析：我们知道.不能分解成两个整系数的二次因式的乘积．如果能够分解，那么一定分解为或13比较与的系数可得:由(1)得，代入(2)得，即或，没有整数能满足这两个方程．所以，不能分解成两个整系数的二次因式的积(从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积)．【巩固】能否分解为两个整系数的三次因式的积?解析：设，比较，及的系数，得由第一个方程与第三个方程可得，,再把它们代入第二个方程中，得矛盾!所以，不可能分解为两个整系数的三次因式的积．例10分解因式：【解析

8、】原式的有理根只可能为，，但是这四个数都不能使原式的值为，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．我们设想可以分为两个整系数的二次因式的乘积．由于原式是首1的(首项系数为1)，两个二次因式也应当是首1的．于是，设⑴其中整系数有待我们去确定．比较⑴式两边，，的系数及常数项，得这样的方程组，一般说来是不容易解的．不过，别忘了是整数!根