因式分解拓展题及解答(必考题型)

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1、因式分解拓展题解板块一：换元法例1分解因式：(x2+4兀+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2【解析】将x2+4x+8=m看成一个字母，可利用十字相乘得原式=“2+3xw4-2x2=(w4-x)(w+2x)=(x24-4x+8+x)(x2+4x+8+2x)=(x2+5X4-8)(x2+6x+8)=a+2)(x+4)(x2+5x+8)例2分解因式：(/+5x+2)(F+5x+3)-12【解析】方法1：将x2+5x看作一个整体，设x2+5x=/,贝U原式=(/+2)(/+3)—12=f~+5/—6二(f—1)(/+6)二(兀+2)(x+3)(x*+5x—1)方法2：将x2+5x+2看作一个

2、整体，设x2+5x+2=t,贝原式=f(f+1)-12"+/_12=(f_3)(/+4)=(x+2)(兀+3)(午+5x-1)方法3:将疋+5兀+3看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式=(x2+5x)2+5(/2_

3、_5x)-6=(x2+5x-l)(x2+5x+6)=(兀+2)(x+3)(x2+5x-1).【巩固】分解因式：(x+l)(x+3)(x+5)(x+7)+15【解析】(x4-2)(x+6)U24-8x4-10)【巩固】分解因式：(兀2+兀+1)(兀2+兀+2)一12【解析】(x-l)(x+2)(x

4、2+x+5)例3证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方.【解析】设这四个连续整数为：x+1、x+2、x+3、x+4(x+1)(兀+2)(x+3)(兀+4)+1=[(x+1)(兀+4)][(x+2)(兀+3)]+1=(x2+5x+4)(x2+5兀+6)+1m=x24-5x+4+6~2~原式=[(〒+5兀+5)-1][(兀2+5兀+5)+1]+1=(/+5兀+5)2-1+1=(x2+5x+5)2【巩固】若兀,y是整数，求证：(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y°是一个完全平方数.【解析](x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4=[(兀+y)(x+4y)][(x+2

5、y)(x+3y)]+y4=(x24-5xy+4y2)(x2+5xy+6y?)+y4令X+5xy4-4y2=u••・上式u(u+2y2)+y4=(w+y2)2=(x2+5xy+5y2)2即(牙+y)(%+2y)(jr+3y)(%+4y)+y4=(x2+5xy+5y2)2例4分解因式(2d+5)(/-9)(267-7)-91【解析】原式=[(2d+5)(a-3川(g+3)(2a-7)]-91=(2a2-a-l5)(2/-°-21)-91设2a，-a-5=xy^A=x(x-6)-91=x2-6x-91=(x-13)(a:+7)=(2^2-6/-28)(2«2-«-8)=(a-4)(2°+7)

6、(2a2-a-S)【巩固】分解因式(x2+3x+2)(3+8x+4x2)-90【解析】原式=(兀+l)(x+2)(2%+l)(2x+3)-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)—90y=2x2+5x原式=(y+3)(),+2)-90=/+5y-84=(y+l2)()，-7)=(2x2+5x+l2)(2%+7)(x-1)例5分解因式:4(3x2-x-1)(兀$+2兀-3)-(4兀$+x-4)2【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现：(3x2-x-1)+(x2+2x-3)=4x2+x-4,故可设-x-=A,x2+2x-3=B,则4x2+x-4=A+B.故原式=443—(4+3尸=

7、-A2-B1+2AB=-(A-B)2=—[(3x~—x—1)—(x~+2x—3)~=—(2x~—3x+2)2.【巩固】分解因式：(a+b-2ab)(a+-2)+(1-ab)2【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化咗十算过程，不妨设d+b==y,【解析】则原式=(x-2y)(x-2)+(1-y)2=x2-2xy+/+2y-2x+l=(x-y)2-2(x-y)+l=(x-y-l)2=(a+b-ab-V)2=(l-a)2(l-b)2例6分解因式：(兀+1)4+(兀+3)4—272[解析】设y=E+"+3=jv+2,则原式=(y-l)4+(y+l)“一2

8、72=2(_/+6)，+1)—272=2(/+6)‘，2-135)=2(/-9)3+15)=2(y+3)()，-3)(/+15)=2(x+5)(x-1)(x2+4x+19)【巩固】分解因式：674+44+(t/-4)4【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令x=2/+44+(q—4)4=(x4-2)4+(x—2)4+44=(x2+4x+4)2+(%2-4x+4)2+44=2(/+24x2+16)+256=2(x4+24x2+144)