由一道题引发的对“离心势能”的研究

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1、由一道题引发的对“离心势能”的研究李威宏（2009010715）一．先我们看一道书上的习题，P76的2.27：一个半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直轴转动。在环上套有一个珠子。今从静止开始逐渐增大圆环转速w。试求不同转速下珠子能静止的位置，并判断位置是稳定的还是不稳定的？参考答案给的是在转动参考系下进行受力分析，分解出切向力Ft，用Ft=0求出珠子静止的位置，然后利用Ft对角位移θ求导，大于0的为稳定的静止位置。但是利用以上的方法不能很好的解释为什么要这样做，那么我们可以尝试用另一种思路来思考这个问题，用能量的角度来考虑吧！受教材P193对“在稳定平衡位置附近的微小振动”的启发，有功是

2、能量量度和功能关系出发，可以知道在平衡位置处应该是势能取最小值的地方。即若以Ep=Ep(x)来表示系统的势能，那么对稳定的平衡位置应该满足以下等式：F=-(dEp/dx)

3、x平=0,d2Ep/dx2>0;其中Ep（x）可以是角位移θ的函数。那么从上面这个思路我们可以另一种解法,但是在此种物理情景之中，只有重力势能显然是不够的。考虑到在转动参考系中珠子受到惯性力，且惯性力可以做功，那么就会问是否惯性力也对应一种势能？要证明惯性力是否对应一种势能，需要证明惯性力是一种保守力，即做功与路径无关。RrR在转动参考系中，珠子受力：重力，棒对珠子的弹力（方向垂直于棒），惯性离心力f=mω2r(r

4、是图中的r)，以及科里奥利力，但是弹力和科里奥利力都不做功。珠子从r1到r2做功：rdrW=r1r2fdr=mω2r1r2rdr=mω2r1r2rdr=1/2mω2r22-1/2mω2r12。这样我们就知道离心力做功只和始末位置有关，而与路径无关，所以可以引入“离心势能”的概念。在本题中。可以将离心势能和重力势能合并为有效势能。并选择最低点为有效势能零点：重力势能为零，离心势能为零。Rθ所以：Ep(θ)=mgR(1-cosθ)-1/2mω2(Rsinθ)2.平衡位置：dEp(θ)/dθ=0∴θ=0或π或cos-1（g/ω2R）.稳定平衡位置是Ep(θ)的二阶导数大于零，Ep(θ)取极

5、小值：∴d2Ep(θ)/dθ2=—2mω2R2(cosθ)2+mgRcosθ+mω2R2.分别代入：①θ=π时，d2Ep(θ)/dθ2<0，不成立；②θ=0时，—2mω2R2(cosθ)2+mgRcosθ+mω2R2>0,即mgR>mω2R2,∴ω<√g/R时能够稳定；③θ±cos-1（g/ω2R）时，可得ω>√g/R时稳定。由以上可见，用离心势能来解答此类问题更直观，更有助于理解机械能守恒和功能关系。一．有效势能在有心力场中的应用及对轨道稳定性的判断.1．在转动参考系中，例如圆周运动，切向速度会产生一个惯性力场，相应就有离心势能的出现，那么我们可以等效的认为在转动参考系中切向动能已

6、经被离心势能做等效，且此处的离心势能的零点时在无穷远处。而通常情况下，运动物体还具有真实的势能，如上题中的重力势能。那么当将将这两个势能合并为有效势能时，就会在转动参考系中与径向动能构成新的机械能守恒模式。在有心力场中：①角动量守恒：L=r*p.L是常向量。②机械能守恒：E=1/2mv2+Ep(r),Ep(r)是真实力的势能。为了出现离心势能，将v分解成切向速度vt和径向速度vr，∴L=r*mv∴L=mrvt,∴1/2mvt2=L2/(2mr2)∴E=1/2mvr2+L2/(2mr2)+Ep(r),注意到其中L2/(2mr2)就是所需要的离心势能，合并为Ep有效=L2/(2mr2)+

7、Ep(r)，只是r的函数。∴E=1/2mvr2+Ep有效（r）。∵vr=dr/dt=√2（E-Ep有效）/m,通过积分得到r=r(t)，再代入L=mωr2,就可以得到θ=θ（t),这就是质点在有心力场中的运动规律了。1．判断椭圆轨道的稳定性。质点在引力F=C/rn的作用下作圆周运动，C是常数，当n满足什么条件的时候，圆轨道才是稳定的？解：设质点的质量m，角动量L，在r处的真实势能是Ep(r)=-∞rF(r)dr=-Cn-11/rn-1则在r处的有效势能：U(r)=-Cn-11/rn-1+L2/(2mr2).平衡位置r0满足以下条件：dU(r)/dr=0∴r03-n=L2/(mC2)要

8、是平衡位置稳定，那么d2U(r)/dr2=L2/(mr04)(3-n)>0，∴n<3，当n<3时，圆轨道才稳定。这就与我们接触过的有心力如万有引力和库伦力中的r2是吻合的。所以行星运动和电子的绕核运动才是稳定的。一．离心势能在玻尔兹曼分布中的一个小应用：一个常见的现象是：ω分布着紫色的气体AaAB我们可以看到A端的颜色浓度会明显低于B端，会有很多人直接说是惯性的作用，对！但我们用离心势能和玻尔兹曼分布律来解释更好：图中的紫色气体在惯性力场的作用下，其分布不