构造法解二次函数应用题

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1、构造法解二次函数应用题高良相二次函数的实际应用非常广泛，近几年中考题中，有关抛物线型建筑物的应用题频频出现，如抛物线型隧道、拱桥、吊桥、大门等，现以北师大版《数学》九年级下册第二章的作业题为例，评点这类题目的解题策略。一.解读课本作业题例：（复习题C组第2题）一座抛物线型拱桥如图1所示，桥下水面宽度是4m时，拱高是2m。当水面下降1m后，水面宽度是多少？（结果精确到0.1m）图1分析：由题意知，水面下降的高度和水面的宽度是两个变量，这两个变量之间存在着二次函数关系。要想求出水面下降1m后水面的宽

2、度，需在图1中构建平面直角坐标系，把题设条件转化为抛物线，求出抛物线的函数关系式。图1为横截面示意图，图中线段AB即为水面。解：如图2，水面的宽度AB=4m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系。由抛物线的对称性知，抛物线的顶点C在y轴正半轴上。图2，故A（-2，0），B（2，0），C（0，2）。设，则解得。当水面下降时，。这时，解得水面宽度为。解这道题的关键有两点：一是要构建适当的平面直角坐标系。平面直角坐标系是解函数题目的重要工具，这一步是构造与问题相关的数学模式，

3、二是把题设数据转化为抛物线上点的坐标，用待定系数法求出抛物线的函数关系式，得到两个变量之间的具体关系，再根据一个变量的确定值求出另一个变量的对应值。该题考查综合应用数学知识解决实际问题的能力，应引起同学们的重视。3二.解法探究与总结由题意可知，构建平面直角坐标系的方法不是唯一的。如图3，以抛物线的顶点为原点构建平面直角坐标系；如图4，以A点为坐标原点构建平面直角坐标系。无论怎样构建平面直角坐标系，结果都是一样的，但要以计算方便为出发点。图3三.难点、易错点简析同学们在解该题时应注意以下三点。（1

4、）建立平面直角坐标系一定要具体写出以哪个点为原点，以哪条直线为x轴（或y轴）。（2）在平面直角坐标系中求点的坐标要把握两点：以点到y轴的距离和点到x轴的距离分别确定点的横坐标的绝对值和纵坐标的绝对值；以点所在象限确定坐标的符号。（3）在图2和图4中，以AB为x轴，水面与抛物线交点的纵坐标为0，水面下降1m后，水面与抛物线交点的纵坐标为，故。在图3中，水面在x轴下方，距离x轴2m，水面与抛物线交点的纵坐标为，水面下降1m后，水面与抛物线交点的纵坐标为，故。y对应的x值就是水面与抛物线交点的横坐标。

5、图4练一练1.如图5，已知一抛物线型大门，其地面宽度AB=18m，一同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直于地面立一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线型门上C处，根据这些条件，请你求出该大门的高h。（答案：）图52.如图6，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线形状，一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。（答案：0.2m）3图6年级　初中学科数学版本期数内容标题　　

6、构造法解二次函数应用题分类索引号　　G.622.46分类索引描述　　辅导与自学主题词　　构造法解二次函数应用题栏目名称　学法指导供稿老师审稿老师录入常丽霞一校胡丹二校审核3