1203第三节利用数形结合思想处理方程问题的技巧

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1、第三节利用数形结合思想处理方程问题的技巧类题解法提示用数形结合思想处理方程问题，即把方程根的问题看做两个函数图像交点问题。借助函数图像采用直观分析的方法，通过研究交点问题来研究方程跟或函数零点的问题。一般地，含无理式、指数式、对数式以及含参数的方程的讨论，均可利用数形结合思想。典型例题精析例题1若函数f(x)=(,且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是。解析设函数（且a1）和函数y=x+a,则函数f(x)=(,且a1)有两个零点，就是函数（且a1）和函数y=x+a的图像有两个交点。当时两函数的图像只有一个交点，不符

2、合；当时，如图1-2-17，因为函数（）的图像过点（0,1），而直线y=x+a与y轴的交点一定在点（0,1）的上方，所以两函数的图像一定有两个交点，所以实数a的范围是。规律总结：形如f(x)=h(x)-g(x)的零点问题常转化为两函数h(x)和g(x)的图像的交点问题。例题2（新课标全国高考）已知函数若a,b,c互不相等，f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是（）A(1，10)B(5，6)C(10，12)D(20，24)解析：作出的大致图像如图1-2-18.由图象知，要使，不妨设，则答案：.第3页共3页规

3、律总结：涉及分段函数对应方程的根或分段函数的函数值相等的问题，常利用数形结合思想求解.例3：已知以为周期的函数其中，若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（）解析：根据的解析式可作出的大致图像，如图1-2-19.恰有5个实数解，由图象知：当时，有两个交点，即方程有两个根（平方化为二次方程），①没有交点，即方程无根（平方化为二次方程），②由①②得.答案：方法提炼：用函数图像讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思路是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的解析式（不熟悉

4、时，需要做适当变形转化为熟悉的函数），然后在同一坐标系中做出两个函数的图像，图像的交点个数即为方程解的个数。这类题目的特点是由不同名函数构成（如），要求判断方程解的个数或确定参数的取值范围，而不要求求出方程的根。典题针对训练：1.关于的方程的实根个数是（）第3页共3页2.已知关于的方程有一个负根，但没有正根，则实数的取值范围是.3.已知函数当m为何值是，方程有一个解？两个解？针对训练答案：1.解析：由.在同一坐标系内分别作出的图像，如图1-2-20.由图像可知两曲线仅有一个交点，所以方程有唯一的解，故选.2.解析：在

5、同一平面直角坐标系中分别作出的图像，如图1-2-21.由图可知，直线的斜率时，与的图像有且仅有轴右侧一个交点，即有一个负根，但没有正根.3.解：.令画出的图像如图1-2-22，可知当时，函数与的图像只有一个交点，原方程只有一个解.当时，函数与的图像有两个交点，原方程有两个解.第3页共3页