步步高大一轮复习讲义数学2.7指数与指数函数

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1、§2.7　指数与指数函数1．根式(1)根式的概念如果一个数的n次方等于a(n＞1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做__________，其中n＞1且n∈N*.式子叫做__________，这里n叫做__________，a叫做____________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号________表示

2、，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写为________(a＞0)．③()n＝______.④当n为奇数时，＝______；当n为偶数时，＝

3、a

4、＝______________.⑤负数没有偶次方根．2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：an＝(n∈N*)．②零指数幂：a0＝______(a≠0)．③负整数指数幂：a－p＝________(a≠0，p∈N*)．④正分数指数幂：＝______(a>0，m、n∈N*，且n>1)．⑤负分数指数幂：＝__________＝________(

5、a>0，m、n∈N*，且n>1)．⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂____________．(2)有理数指数幂的性质①aras＝__________(a>0，r、s∈Q)；②(ar)s＝________(a>0，r、s∈Q)；③(ab)r＝__________(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图像与性质y＝axa>100时，______；x<0时，________(5)当x>0时，_____

6、___；x<0时，_______(6)在(－∞，＋∞)上是______(7)在(－∞，＋∞)上是_____[难点正本　疑点清源]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2．指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按01进行分类讨论．1．(课本改编题)用分数指数幂表示下列各式．(1)＝________；(2)((a＋b)>0)＝________；(3)＝________.2．(课本改编题)化简－(－1)0的值为____

7、____．3．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________．4．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.5．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于(　　)A．5B．7C．9D．11题型一　指数式与根式的计算问题例1　计算下列各式的值．(1)＋－10(－2)－1＋(－)0；(2)－(－1)0－；(3)(a>0，b>0)．探究提高　根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，

8、对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．计算下列各式的值：(1)×＋80.25×＋(×)6－；(2)÷×(a>0，b>0)．题型二　指数函数的图像及应用例2　(1)函数y＝(00且a≠1)的图像经过第二、三、四象限，则a、b的取值范围是__________．(3)方程2x＝2－x的解的个数是________．探究提高　(1)与指数函数有关的函数的图像的

9、研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．(1)函数y＝的图像大致为(　　)(2)k为何值时，方程

10、3x－1

11、＝k无解？有一解？有两解？题型三　指数函数的性质及应用例3　设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．探究提高　指数函数问题一般要与其它函数复合．本题可利用换元法将原函数化为一元二次函数．结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解．由于指数函

12、数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.(1)若f(x)＝，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．　4.方程思想及转化思想在求参数中的应用试题：(13分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求a，b的值