数学分析 多元函数

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1、第十二章第一节多元函数微分学要点一、偏导数与全微分要点1、关于的偏导数求法：只须将除了以外的自变量都看成常量，对于关于用一元函数求导法。2、可偏导与连续互无关系（1）可偏导但不连续的例子：例1、在点处。解：，同理但函数在极限不存在，当然不连续。例2、在点。解：同理，但在点不连续。（2）连续但不可偏导的例子：例3、在点处。解：因为，故在点连续。又因为，在处不可导，在处不可导，故在点不可偏导。3、可微与全微分(1)、在可微等价于存在与无关的使得其中可换为或(2)、在可微7(2)、可偏导未必可微：反例为例1、在点。例2、在点。

2、(3)、连续且可偏导不能导出可微，反例为例1、在点。解：同理由可知在点连续。又因为且不存在，故不可微。例2、在点。解：易见在极坐标下，故在可偏导且连续。但是在点处极限不存在，故不可微。(4)若偏导数都连续，则必可微。注：判断一个函数在处可微的原则与主要步骤如下：(i)若函数在处不连续或不可偏导（即至少有一个偏导数不存在），则函数在处必不可微；(ii)若函数在处连续且可偏导，则考察如下的7例3、设试问在处可微否？解：由基本不等式有，，故，极限为=（因为）故该函数在点可微。二、方向导数的要点（1）对于有偏导数连续可微方向导数

3、处处存在，且有其中是与轴正向的夹角。当与同向时，方向导数达到最大，反向时最小，而垂直时为0。当时，在同样的条件下，其中是与轴正向的夹角。（2）对于分段函数的分段点，一定要用定义来求方向导数，即对于元函数在点处为7对于二元函数在点为三、混合偏导数要点一般而言，混合偏导数存在，未必相等；但若都连续，则必相等。所以当任意阶混合偏导数君存在连续的条件下，可交换求偏导的次序。特别，初等函数在混合偏导数均存在时，可交换次序。也就是说，若对于所有涉及到的偏导数与混合偏导数都存在且连续，那么当对的偏导数先后出现次，而对的偏导数出现次，则

4、它们都等于例1、设求因为所以又因为所以从而以一般地有例2、设是一元二次可微函数，试证明：是的函数，记为并求出证明：首先有：于是7==结合可得=a)特别，当时，则从而对于有由此可得，当时，若则b)当则于是对于有由此可得，当时，若则有一类题如下：已知具有直到二阶的连续偏导数，均为已知连续函数，且满足：，求解题要点：7因为，两边对积分，并记关于的一个原函数为，则得，（的函数对于而言都是常数）再对上式关于积分，并记，又可得这时已知的，而待定。于是解可求出从而求出例1、设有二阶连续偏导数，且满足试求解：先对原防那方程关于积分可得。

5、再对上式关于积分又得联合分别以，代入（1）、（2）、（3）可得7得在（4）中令或在（5）中令可得，得，再代入（1）得7