理想剩余类群上gauss定理的推广论文

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1、致谢本文蔻在导雾摹蔡天耨教授的悉心指导下颓剩完成的，襄，ＥＬ，感谢导颤的谆谆教导和无微不至的关怀，让我在两年半的磺究生学习阶段学有所成；也感谢师母林俐老师的关心和爱护！在学习和写作本文期间，中科院王元院士的点拨和指导给了我很大瀚启发和帮韵，在此囱王元先生表示感落于；同时也向帮韵和关心我黔翅学积朋友，特别是烬弟周恢表示感谢！最后还要感谢我的父母和家人，他们的关心和支持给了我克服困难的勇气和信，ｔＬ，，他们的不断鼓舞将是我今生永久的动力！摘要本文利用代数数论的方法，把整数环上的Ｇａｕｓｓ定理推广到理想ｍ的剩余类群册（ｍ）上得到：若ｂ是９｛（。）中的理想，则。骢。；

2、｛！。墨≯蒜０其中ｅ（２）是婀（ｍ）中阶为２的方幂的基的个数．利用这一结论，可以得到同余式：Ｈｆ１７ｍｏｄｒｎ、若ｅ（２）≠１ＬＩＩＩＯＵＩｌｌ），-31，，．其中ｅ（２）是ｍ（ｍ）中阶为２的幂次的基的个数，＾：Ｐ（ｍ）是飒（。）中与ｍ互素的理想个数．关键词ｍｏｄｍ的剩余类群：Ｇａｕｓｓ’定理；理想；互素的理想。。当乳¨ｚ…铲ｈ％协㈣，端：ｊ，ＡｂｓｔｒａｃｔＢｙｕｓｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆａｌｇｅｂｒａｉｃｎｕｍｂｅｒｔｈｅｏｒｙ，ｗｅｃａｎｇｅｎｅｒａｔｅＧａｕｓｓ’ｔｈｅｏｒｅｍｔ。ｔｈｅｇｒｏｕｐｏｆｒｅｓｉｄｕｅｃｌａｓｓｅｓｍｏ

3、ｄｍａｎｄｒｅｃｅｉｖｅｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎＩｆｂｉＳｔｈｅｉｄｅａｌｏｆｔｈｅｇｒｏｕｐｏｆｒｅｓｉｄｕｅｃｌａｓｓｅｓｍｏｄｍ．ｔｈｅｎ。飘。ｓ仁。器舞：嚣！Ｉ（ｅ（２）ｉｓｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｔｈｏｓｅｂａｓｉｓｅｌｅｍｅｎｔｓｗｈｏｓｅｏｒｄｅｒｉｓｄｉｖｉｄｅｄ．ｂｙ２）Ｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅａｂｏｖｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ，ｗｅｃａｎｐｒｏｖｅｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ兀电；气ｂ，ＶＥ州ｍ１Ｉ≤ｆ，＜ｉ２＜＜ｉｌ￡＾～三，¨Ｋ．㈣叫ｍｍ若ｅ（２）≠１，若ｅ（

4、２）＝Ｉｅ（２）ｉｓｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｔｈｏｓｅｂａｓｉｓｅｌｅｍｅｎｔｓｗｈｏｓｅｏｒｄｅｒｉｓｔｈｅｐｏｗｅｒｏｆ２，ｈｉｓｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｅｌｅｍｅｎｔｓｉｎ吼（ｍ），ａｎｄｈｅｑｕａｌｓｇｕｌｅｒ’Ｓｆｕｎｃｔｉｏｎｐ（ｍ），妒（ｍ）ｉｓｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｉｄｅａｌｓｗｈｉｃｈａｒｅｒｅｌａｔｉｖｅｐｒｉｍｅｔｏｍＫｅｙｗｏｒｄｓＧｒｏｕｐｏｆｒｅｓｉｄｕｅｄｅａｌｓｒｅｌａｔｉｖｅｐｒｉｍｅｔｏ-2ｒｔｌ；ｃｌａｓｓｅｓｅ（２）ｒｏｏｄｍ：Ｇａｕｓｓｔｈｅｏｒｅｍ４海送鹜景１７７０年，英国数学家Ｗｉｌｓｏ

5、ｎ提出：若ｐ为素数，则Ｈｒ－＝－ｌ（ｍｏｄｐ）。｛；鬈ｔ这一结果被称为Ｗｉｌｓｏｎ定理，Ｇａｕｓｓ将这一结果撼广到任意正整数模上，愿到：设所＞１是歪整数，剡ｌ品阳ｌ－１１（（ｍｏｍｏｄｄ嘲ｍ）ｍ＝其２他，４．，矿，２∥，（，，科）＝ｌ我警在本科毕盘论文中给出了详缀｛歪龋。２００３年，中科院院士王元先生给我们讲述了代数数论课程，代数数论是一门很有意思的课程，它用代数的方法去解决数论的问题，使很多较难证明的问题得到了很好的解释。既然在任意约整数模上有Ｇａｕｓｓ定理的成立，那么在代数整数环ｌ睾有没有类似的绣论？如巢有，又需要什么条件使结论戒立？用什么方法可以证明我

6、的结论？这一系列问题促使我写成了本篇论文。王元先生和导师蔡天新对本篇文章提出了宝贵的意见，并作出了肯定，目前还无其他方法可以证明这一结论。．。记号约定●文中Ｐ为素数・Ｆ为代数数域，户怒尸中所有整数构成的代数整数环●ｍ，ｎ是声中的理想●辨（ｍ）是霪憨ｍ静裂余类群●６Ｊ．，…，‰均为孵（ｍ）中的理想・ｅ（２）是孵（ｍ）中阶为２的方幂的基的个数・烈搬）是豫（嘲中与砒互素的理想个数，其中够为Ｅｕｌａｒ涵数・，（户）表示户中全体非零理想组成的集合疆想剩余类群上Ｇａｕｓｓ定理的推广１．引言众所阍知，若ｐ为素数，刚Ｈ，＝－Ｉ（ｍｏｄｐ），Ｇａｕｓｓ将这一结果攮广到任意的正

7、整数模上，彳导到：设ｍ＞１是正整数，爨《ＦＩ，＝ｆ－一１（ｍｏｄ—ｍ．）ｌ＜ｒ＜ｍｐ，脚）＝ｌ１（ｍｏｄｍ）絮箍ｊ矿。矿，本文将此结果推广到理想剩余类群上，得到；若ａ勋ｅｍ）中的理想，则。臁ａ＊㈦黧≯蒜：，其中ｅ（２）是坼（ｍ）中阶为２的方幂的基的个数进而，利用这一推广和组合的有关知识，我们又可以得到同余式：瓠＜Ｊ２＜‘“ｓ＾、ｅｍ（ｍ）｛ｉ｝”ｗ＋），若ｅ（２）≠１，若ｅ（２）＝ｌ，ｆ县他．，ｈ，ｉ骠，．．‰％‘。‘‰５｛ｌ－．１）（嚣ｐ‘（・ｍ。ｏｄ．ｄｍ；：２．预备知识为了更好地避解本文疑阉述盼内容，我褒先寒分绥一下代数数论的褥关知识。我们把有理

8、数域Ｑ上所有熬系数多项式的全体记为ＱＭ