模n的剩余类环的单位群U_Z_n_

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1、第10卷第4期南通大学学报（自然科学版）Vol．10No．42011年12月JournalofNantongUniversity（NaturalScienceEdition）Dec．2011模n的剩余类环的单位群U（Z）n居腾霞，王立周（南通大学理学院，江苏南通226007）摘要：利用初等数论中单位群U（Z）的结构定理，证明了对于模n的剩余类环Z，非单位元的阶均为2的单位nn群有且仅有U（Z），U（Z），U（Z），U（Z），U（Z），U（Z）；非单位元的阶均为其他素数p（p>2）的单34681224位群不存在；非单位元的阶均为2的某个方幂的单位群有U（Zaa1al），其中a，a是非负整

2、数，且0≤a≤1，每2p…pii1l2个p为费马素数.最后利用单位群讨论了二次同余方程x≡1（modn）的解的个数.i关键词：单位群；剩余类环；循环群；欧拉函数；费马素数中图分类号：O152.2；O156.1文献标志码：A文章编号：1673－2340（2011）04－0083－05UnitGroupsofRemainderClassRingsModuleU（Z）nJUTeng-xia，WANGLi-zhou（SchoolofSciences，NantongUniversity，Nantong226019，China）Abstract：Thispaperusesthestructuret

3、heoremofunitgroupsU（Z）ofnumbertheorytoshowthattheunitgroupsofnremainderclassringsZofwhichallthenon-identityelementshaveorder2，are，U（Z），U（Z），U（Z），U（Z），n3468U（Z）andU（Z）；theunitgroups，ofwhichallthenon-identityelementshaveorderprimep（p>2），don′texist；the1224unitgroups，ofwhichallthenon-identityelement

4、shaveorderpowersof2（notnecessarilysame），areU（Zaa1al），2p…p1lwhereandarenon-negativeintegers，0≤a≤1and，p，…，pareFermatprimes.Thispaperalsousesuniti112groupstodiscussthenumberofsolutionsofquadraticcongruencex≡1（modn）.Keywords：unitgroup；remainderclassring；cyclicgroup；Eulerfunction；Fermatprime设Z是模n的剩余类

5、环[1]的单位群U（Z，[a]∈Z，若埚[b]∈）进行了讨论，从而得出只有当n=nnnZn，满足[a][b]=[1]，其中[1]为Zn的单位元，则称3，4，6，8，12，24时，单位群U（Zn）的全体非单[a]为Z的一个单位（事实上[a]是Z的可逆元）.Z位元的阶均为2.文献[3]讨论了n取何值时，剩余nnn中全体单位构成的群称为单位群，记作U（Z）.类环Z的单位群U（Z）的阶为2pq，其中p，q是nnn文献[2]根据初等数论的基本知识对剩余类环Z给定的素数.本文利用单位群U（Z）的结构定理nn收稿日期：2011-08-27基金项目：南通大学博士启动基金项目（09B01）作者简介：居腾

6、霞（1972—），女，副教授，博士，主要从事Hopf代数学的研究.E-mail:jtx@ntu.edu.cn·84·南通大学学报（自然科学版）2011年直接得出文献[2]中的结论.另外，我们还考虑了证明：（a，n）=1，所以[a]∈U（Z）.设[a]的阶n以下问题：φ（n）为m，由文献[2]得m‖U（Z），则mφ（n），[a]=n1）非单位元的阶均为素数p（p>2）的单位群φ（n）[1]，所以a≡1（modn）.证毕.U（Z）有哪些?n定理3[4，6-7]设G是n阶循环群，则G的任一2）非单位元的阶均为2的某个方幂的单位群+子群仍是循环群，且若r∈Z是n的因子，则G有U（Z）有哪些?n

7、且仅有一个r阶子群.23）U（Zn）中2阶元与同余方程x≡1（modn）+推论2对于循环群Z，若r∈Z，且rn，n的解之间有什么联系?则必存在[a]∈Z，使得[a]的阶（对于加法而言）为r.n1预备知识定理4[8]（U（Z）的结构分解定理）设正整n定义1[4]自然数集N上的欧拉函数φ（n）表示aa1al数n的素数分解形式为n=2p…p，a，a是非1liS={1，2，…，n}中与n互素的数的个数.负整数，且素数p依次增大，i=1，2，…，l，则i