模n剩余类环及其应用—数学与应用数学毕业论文

《模n剩余类环及其应用—数学与应用数学毕业论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、模n剩余类环及其应用摘要:模n剩余类环是一种比较透彻的特殊环.本文主要从模n剩余类环的定义和性质出发,系统论述了模n剩余类环及其相关性质,并列举了模n剩余类环在纯代数证明和完全及简化剩余系的性质方面的一些应用.关键词:模n剩余类环;模n剩余类子环;幂等元;理想中图分类号:O153ModulonResidueClassRingandItsApplicationAbstract:Modulonresidueclassringisakindofthoroughspecialring.Inthisthesis,mainlybasedonthedefinitionofmodulonr

2、esidueclassringanditsprimaryproperty,theauthorfirstcompletelyexpoundsitanditsrelativeproperties.Then,someapplicationintheproofofpurealgebraicandthesimplificationoftheremainingcoefficientsislisted.Keywords:Modulonresidueclassring;Modulonresidualclassring;Idempotentelement;Sub-ringideal目录1引言

3、12基本知识12.1模n剩余类环的基本概念12.2模n剩余类环的基本性质23主要结果及其证明33.1模n剩余类环的一般性质33.2模n剩余类子环的相关命题43.3模n剩余类加群相关性质列举83.4模n剩余类乘法群及其幂等元的简单求法93.5模n剩余类环的理想113.6剩余类环的应用13参考文献16数学与统计学院2013届毕业论文模n剩余类环及其应用1引言自从1910年狄德金和克隆尼克共同创立环论以来,学者们就对各种环进行了深入系统的研究,开辟了许多新的研究领域,并取得了许多有意义的研究成果.环是两个二元运算建立在群的基础上的一个代数系统,因此它的许多基本概念与理论与群相似,

4、也是对群的相应内容的推广.模n剩余类环就是环中研究比较透彻的一类环,常见于各类论著之中,同时,它也有很重要的应用.2基本知识在集合中,固定(可以是任意形式),规定中元素间的一个关系为,则,当且仅当.其中,表示能整除.易见,这是一个等价关系,记这个等价关系为模的同余关系,并用来表示.我们知道一个等价关系决定一个分类,所以该等价关系便决定了集合的一个分类,我们将如此得来的分类就叫作模的剩余类.2.1模n剩余类环的基本概念定义2.1.1对,令,任取,规定,为的两个代数运算,可知作成一个环,是一个阶有单位元的交换环,我们称其为以为模的剩余类环,或简称模剩余类环.显然,该环关于加法作

5、成一个阶循环群,从而是阶循环环.20数学与统计学院2013届毕业论文定义2.1.2对,类中若有一个整数与互素,则这个类中的所有整数都同互素,我们就说类与互素.定义2.1.3对,若存在中的元素,使得,则称为环的一个左零因子.同样可定义右零因子,若的左零因子与右零因子相等,称其中任意一个为的零因子.定义2.1.4中,若使得,有,则称元素为环的单位元,记作.定义2.1.5中,若,有,使得,则称是的逆元,与互逆.定义2.1.6对,(对加法)有最大的阶,则称为的特征.定义2.1.7对于的任一非空子集,若满足:,;,.则称集合为的一个理想子环,简称的理想.定义2.1.8设为任意一个环,

6、是的理想.则对陪集的加法和乘法作成一个环,称该环为关于的商环.定义2.1.9的乘法群(为素数时,中的所有非零元做成,为合数时,中的所有可逆元做成)中,对于,若满足:20数学与统计学院2013届毕业论文,则称为的一个幂等元[1].定义2.1.10对于,若,使得,则称整除,记作,否则,不整除.2.2模n剩余类环的基本性质性质2.2.1对,若,则.性质2.2.2对,.性质2.2.3设,.在以下内容中,表示的正因子的个数,为Euler函数,表示不超过,与互素的元素的个数.3主要结果及其证明3.1模n剩余类环的一般性质（1）是交换环.（2）中非零元是可逆元,且可逆元的个数为个.证明设

7、是的可逆元,则,使得,,即,使得,,.反之,若,且,则,使,=,故是的可逆元,故可逆元个数为个.（3）对,若,则为的零因子,且20数学与统计学院2013届毕业论文共有个零因子.证明当时,令,,.易见,,故是的零因子.又由于中,对于,不是可逆元就是零因子,故共有个零因子.（4）中,其左右零因子均为零因子.（5）是无零因子环为素数.（6）设为无零因子,且,则中所有非零元素(对加法)的阶必相同.（7）对于,（1）是特征为的有单位元的可交换环;（2）环是域为素数;（3）若为合数,则环有零因子,从而不是域.（8）,则.（9）