Gauss-Bonnet定理

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1、x3.3Gauss-Bonnet定理Gauss-Bonnet定理也许是曲面微分几何中最深刻的定理.此定理的最初形式是由Gauss在一篇著名的讨论曲面上测地三角形(即其三边均为测地弧)的文章中叙述过.大体上说,一个测地三角形¢的三个内角®1;®2;®3之和超过¼的部分等于Gauss曲率K在¢上的积分,也就是说X3ZZ®i¡¼=KdA:(3:1)¢i=1P3例如当K´0时,由(3.1)式我们有®i=¼.即(3.1)式是平面几何中的Thales定理在i=1P3曲面上的推广.再者K´1,则有®i¡¼=¢的

2、面积,由此可见,在单位球面上,测地三i=1角形的内角和大于¼,并且超过¼的部分正好是¢的面积.类似地,在伪球面(K´¡1)上,任何测地三角形的内角和小于¼.O.Bonnet在1848年把上述定理推广到由一条非测地的简单光滑闭曲线所围成的区域,进而推广到简单分段光滑闭曲线的情形,得到了Gauss-Bonnet公式.为了再做整体性推广,比如说,推广到紧致曲面S上,则需考虑其拓扑性质.事实上,Gauss-Bonnet定理的最重要的特点之一是:为紧致曲面的拓扑和它的几何量

3、曲率的积RR分提供一个有价值的联

4、系,即KdA=2¼Â(S).尽管Gauss曲率K依赖于S上给定的S黎曼度量,即第一基本形式,然而其积分却都是与度量毫无关系的数2¼Â(S).3.3.1局局局部部部Gauss-Bonnet公公公式式式1.单连通区域上的Gauss-Bonnet公式144设曲线C是曲面S上的一条简单光滑闭曲线,它所包围的区域D是一个单连通区域.而D是D对应的(u;v)平面上的区域,记平面区域D的边界为闭曲线@D.我们选取曲面上正交曲线网作为参数曲线网(u;v).设曲线C的参数方程是u=u(s);v=v(s),其中s为弧

5、长参数,µ(s)是曲线C在弧长s处的切向量与u-曲线的正向夹角,可以选取µ(s)是s的可微函数.于是由正交网时计算测地曲率的Liouville公式dµ1@lnE1@lnGkg=¡pcosµ+psinµ;(3:2)ds2G@v2E@u将上式两边绕曲线C积分一周得到III1kgds=dµ+p(¡Evdu+Gudv):(3:3)CCC2EG现在我们先考察(3.3)式右端的第二个积分.利用微分学中的Gauss-Green定理:若P(u;v)和Q(u;v)是定义在简单区域D½R2上的可微函数,D的边界@D:

6、u=u(s);v=v(s),则IZZµ¶@Q@P(Pdu+Qdv)=¡dudv@DD@u@v对(3.3)式右端的第二个积分来说,这时取EvGuP=¡p;Q=p;2EG2EG145结合正交网时高斯曲率的计算公式我们得到II11p(¡Evdu+Gudv)=p(¡Evdu+Gudv)C2EG@D2EGZZ½µ¶µ¶¾EvGu=p+pdudv(由Green公式)D2EGv2EGuZZ("p#"p#)(E)v(G)u=p+pdudvDGEZZvZZup=¡KEGdudv=¡KdA;(由Gauss公式)DDp

7、其中dA=EGdudv是曲面S在正交参数网下的面积元素.H再来考察(3.3)式中右端的第一个积分dµ,此处µ表示曲线C的切向量与u-线的夹C角.我们在曲面S上取等温参数.则S的第一基本形式为I=¸(u;v)(du2+dv2):设平面¼的第一基本形式为I¤=(du¤)2+(dv¤)2,显然(u¤;v¤)是平面¼上的直角坐标系,令u=u¤;v=v¤,这个对应就是曲面S和平面¼之间的共形微分同胚.这时S上的u-线对应¼上的u¤-线.假设S上的曲线C对应于平面¼上的曲线C¤,夹角µ对应于µ¤.显然C¤是¼

8、上的一条光滑闭曲线,而µ¤是C¤与平面¼上的u¤-线之间的夹角,因这个对应是等角对应,所以µ=µ¤,于是有IIdµ=dµ¤:CC¤但是在平面¼上,根据切线回转定理:沿单连通区域的边界曲线的正向绕一周后,边界曲线H的切向量转过了2¼,即成立¤dµ¤=2¼.因此(3.2)式就化为CIZZkgds=2¼¡KdACD或IZZkgds+KdA=2¼:(3:4)CD这就是曲面上著名的关于简单光滑闭曲线的Gauss-Bonnet公式.如果曲线C是曲面S上的一条分段光滑闭曲线,它由n段光滑曲线C1;¢¢¢;Cn所

9、组成,设这些光滑曲线的交接处的外角为µi;(i=1;¢¢¢;n).146因为这时IXnZIXnZkgds=kgds;dµ=dµ;Ci=1CiCi=1Ci而且对每一条曲线Ci都成立(3.2)式,再把它们加起来,利用Green公式后有XnZXnZXnZ1kgds=dµ+p(Evdu+Gudv)i=1Cii=1Cii=1Ci2EGXnZZZ=dµ¡KdA:i=1CiD因为曲线C=C1[C2[¢¢¢[Cn的切向量在这些光滑曲线的交接处有跳跃"(即角亏).H而这些跳跃"角就是交接点处的外