与矩形相关的折叠问题解答方法

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1、与矩形相关的折叠问题金山初级中学庄士忠201508将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，而这些问题中往往融入了丰富的对称思想，综合了三角形、四边形的诸多知识，千变万化，趣味性强，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。下面从几个不同的层面展示一下。一、求角度ABECDFG例1、如图，把一张矩形纸片沿折叠后，点分别落在的位置上，交于点．已知，那么．解析：根据矩形的性质AD∥BC，有∠EFG=∠FEC=58°，再由

2、折叠可知，∠FEC=∠C′EF=58°，由此得∠BEG=64°例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为()．(A)60°(B)75°(C)90°(D)95°分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC和折痕BD就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A/BC,∠EBD=∠E/BD。二、求线段长度ABCDEF例3、如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）（A）（B）（C）（D）８解析：由折

3、叠可知，AE=AB=DC=6，在Rt△ADE中AD=6，DE=3由勾股定理，得AD=，设EF=x，则FC=，在Rt△EFC中由勾股定理求得x=,则EF=，在Rt△AEF中，由勾股定理得AF=。故选A。分析：在矩形折叠问题中，求折痕等线段长度时，往往利用轴对称性转化相等的线段，再借助勾股定理构造方程来解决。三、求图形面积图1-1例4、如图，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成右图并在其一面着色，则着色部分的面积为（）A．B．C．D．解析：折叠后重合部分为直角三角形，其面积为，因此着色部分的面积=长方形纸条面积－两个重

4、合部分三角形的面积，即20×2－2×2＝36（）。故选B。分析：可以用动操作加强感性认识，注意重叠部分的计算方法。四、说明数量及位置关系ABCDEF例5、如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，连结．证明：（1）．（2）．分析：（1）欲证明BF=DF，只需证∠FBD=∠FDB；（2）欲证明，则需证。由折叠可知DC=ED=AB，BC=BE=AD，又因为AE=AE，得△AEB≌△EAD，所以∠AEB=∠EAD，所以∠AEB=（180°-∠AFE），而∠DBE=（180°-∠BFD）因此。解：（1）由折叠可知，∠FBD=

5、∠CBD因为AD∥BC，所以∠FDB=∠CBD所以∠FBD=∠FDB（2）因为四边形ABCD是矩形所以AB=DC，AD=BC由折叠可知DC=ED=AB，BC=BE=AD又因为AE=AE所以△AEB≌△EAD，所以∠AEB=∠EAD，所以∠AEB=（180°-∠AFE），而∠DBE=（180°-∠BFD），∠AFE=∠BFD所以所以AE∥BD五、判断图形形状OACBED例6、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O。（1）由折叠可得△BCD≌△BED，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请

6、你找出来。（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来。（3）若AB=6,BC=8,则O点到BD的距离是。分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD。另外，还可以从另一个角度分析。由折痕BD可以找到∠OBD=∠CBD，由于在矩形中，AD∥BC，∠ODB=∠CBD，经过等量代换∠OBD＝∠ODB，然后等角对等边OB=OD。这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会

7、出现“等角对等边”的等腰三角形。问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。因为AD＝BC，BC＝BE，因此在△ABO中可以设AO＝x，则BO＝OD＝8－x，因为AB＝6，即可以列勾股定理的等式：AB2＋AO2＝BO2进行计算了。下面的这个题目就是用这个思路解决的。大家可以尝试一下。例7、一个矩形纸片如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF。（1）找出图中全等的三角形，并证明。（2）重合部分是什么图形？证明你的结论。F132CBAEDF132CBAED（3）连接BE，并判断四边形BEDF是什么特殊

8、四边形，BD与EF有什么关系？并证明。分析：此题的折叠不仅有前面几个问题中线段和角的对应相等，而且在折叠的过程中隐藏着EF垂直平分BD，这对于第三问中四边形形状的判断，有着重要的作用，这仍然是轴对称的性质。利用这些条件易证明△EOD≌△BOF，则有ED＝BF，且ED∥BF，首先四边形EBF