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1、基于Matlab环境优化Taylor中值定理教学作者：高明海刘守鹏刘琳孔杨刘芳祈爱琴【摘要】利用Matlab7.01数学软件学习《高等数学》中Taylor中值定理，把传统的教学模式“讲授记忆”教学过程变成“直觉探索思考猜想验证”的探究式教学过程。充分利用计算机强大的计算能力和图形处理功能，实现科学合理的多媒体教学.【关键词】Matlab;Taylor中值定理;多媒体 1引言 数学实验课程在大学悄然兴起，促使数学实验室从无到有、从小到大，“直觉探索思考猜想验证”的探究式学习有了
2、物质基础。优秀软件Matlab在多媒体教学中占据了一席之地，PPT与Matlab界面可以通过超级链接等多种方式方便切换。在Matlab环境中，简单的操作界面具有一定的人机交流对话功能，有利于学生发挥主体性、提高学习主动性和创造性。在自主操作过程中，学生对数学概念和公式的理解得到深化，学习兴趣增强。所以，合理使用Matlab软件可以大大缩短抽象和直观、理论和实践的认识过程。 2在Matlab环境中学习Taylor定理 在近似计算和误差理论分析以及级数学习中，Taylor中值定理有着非常重要的地
3、位和作用。学生在学习Taylor中值定理时，学生往往只知其然不知其所以然，只能从教材中有限的静态图像中被动接受，对公式的实质不了解或不甚了解，所以学生对Taylor中值定理之美少有体会。在Matlab界面中，可以排除“讲授记忆”课堂教学模式中许多不能解决的许多障碍。 2.1问题提出 定理1若f(x)在x0处可导，则在x0的某个邻域内有 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+o(x-x0)， 或记为f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)(1) 例1当
4、x
5、很小时，ex
6、≈1+x，sinx≈x(如图1、2)。图1exp(x),1+x图2sinx,x 例1两个关系的Matlab语句分别为：5 x=-2:0.1:2; plot(x,exp(x),x,1+x,) gridon;axisequal axis([-2.52.5-18]) x=-pi:0.1:pi; plot(x,sin(x),x,x,) gridon;axisequal axis([-pipi-22]) gridon和axisequal语句可以省略，只是图像中失去网格线、纵横坐标轴比例
7、失调。 直觉会激发学生的想象。通过探索与思考，学生会思考这样的问题：当
8、x
9、很小时，才能保证公式(1)式的精度，如果需要较大范围怎么办呢?也就是说，怎么保证在离坐标原点较远处也有较小的误差呢?这一点可以通过提高导数的阶数来保证。 2.2问题分析 在微积分学中，多项式函数pn(x)显示出简洁性、易操作性。定理1就是以一次多项式p1(x)近似代替f(x)，公式(1)右边多项式部分提取了f(x)的位置和倾斜度信息，说明了用一次函数p1(x)近似表示函数f(x)，p1(x)与f(x)在一定范围内就
10、吻合得较好，如图1。根据导数的意义可以知道，f(x0)、f'(x0)、f''(x0)…分别表示了函数f(x)的位置、倾斜度、弯曲方向…特性。通过启发，学生猜想，若提取f(x)更多的特征值信息f(n)(x0)：使f(n)(x0)=p(n)(x0)，即提高导数的阶数要求，就可以保证在更大范围内pn(x)与f(x)仍然吻合较好吗?对于同一个问题而言，是否导数的阶数越高，达到吻合要求的范围越大呢? 定理2(Taylor中值定理)若f(x)在x0的某个领域内有直到n+1阶导数，则对该领域内的任意x，有：
11、 f(x)=f(x0)+f''(x0)(x-x0)+12!f(x0)(x-x0)2+…+1n!f(x0)(x-x0)n+o(x-x0)(2) 成立。5 例2作图观察近似关系式ex≈1+x+12!x2+13!x3和sinx≈x-13!x3+15!x5(如图3、4)，并与例1比较。 例2两个关系的Matlab语句分别为： x=-3:0.1:4; y0=exp(x); y1=1+x+x.^2/2+x.^3/3; plot(x,y0,x,y1,) x=-pi:0.1:pi; y3=s
12、in(x); y4=x-x.^3/6+x.^5/120; plot(x,y3,x,y4,) 在Matlab环境中的演示过程，验证了学生的猜想。 图3exp(x),1+x+x2/2+x3/3 图4sinx,x-x3/6+x5/120 2.3结论验证 通过课堂讲授、动手验证，学生对taylor中值定理 ex=nk=0xkk!+o(xn)和sinx=nk=0(-1)k-1x2k-1(2k-1)!+o(x2n) 有了直观形象的认识。从逻辑思维角度，可视化环境为学生理解Taylor中
