直线与平面问题的几个能力点

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1、直线与平面问题的几个能力点高考中对直线与平面部分的考查是以空间想象能力为重点，但同时也考查学生的综合能力，下面例析重点考查的几个能力点．一、学会利用有限空间的实物来判断线面关系例1⑴已知a，b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a，b在上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是_________(写出所有正确结论的编号)．⑵关于直角在平面内的射影有如下判断：①可能是的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是的角．其中正确判断的序号是

2、　　　　　（注：把你认为正确判断的序号都填上）．分析：本题考查学生数学思维的全面性及空间想象力，直接做较抽象．可借助于具体模型来操作．解：⑴拿两支笔作为不垂直的两条异面直线，向水平桌面上投影，易验证①、②、④正确，③不正确(假设a，b在上的射影为同一条直线，则a，b必共面，与a，b是异面直线矛盾)．⑵借助于学习用具直角三角板，将其放在桌面的不同位置(与桌面平行、垂直等)作出判断，显然五种情形都有可能，故填①②③④⑤．点评：学生所处的教室空间及手头的笔等学习用具，可以提供许多有关直线与平面的实物，利用这些实物可以验证或排除

3、线面的位置关系．二、学会将平面内的数量关系类推到空间例2由图⑴有面积关系：，则由⑵有体积关系：_____________分析：由二维平面的面积比，类比联想三维空间的体积比，二维平面两线段乘积的比，可类比联想到三维空间三线段乘积的比，由此可出结论．解：运用类比思维，知，证明如下：分别过B，B1作平面PAC的垂线BO，BO1，垂足分别为O，O1，则∠BPO＝∠B1P1O1，＝．三、学会用直线与平面基本定理解决线面位置问题例3(2005年高考江苏卷)设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，

4、，，，则；③若，，则；④若，，，，则。其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解：逐一判断对于（1）由面面垂直知，不正确；（2）由线面平行判定定理知，缺少m、n相交于一点这一条件，故不正确；（3）由线面平行判定定理知，正确；（4）由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确。综上所述知，（3），（4）正确，故选(B)．四、学会用平移的方法确定异面直线所成角的大小例4(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A

5、1E与GF所成的角是（）A．B．C．D．解：连B1G，则A1E∥B1G，知∠B1GF就是异面直线A1E与GF所成的角．在△B1GF中，由余弦定理，得cosB1GF＝＝0，故∠B1GF＝90°，应选(D)．评注：本题是过异面直线FG上的一点G，作B1G，则A1E∥B1G，即直线A1E移到B1G，知∠B1GF就是所求的角，从而纳入三角形中解决．五、学会用运动的观点解决折叠问题例5(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时

6、点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．解：取AE中点G,连结GM、BG∵GM∥ED，BN∥ED，GM＝ED，BN＝ED．∴GM∥BN，且GM＝BN．∴BNMG为平行四边形，∴MN//BG∵A的射影为B．∴AB⊥面BCDE．∴∠BEA＝∠BAE＝45°，又∵G为中点，∴BG⊥AE．即MN⊥AE．∴MN与AE所成角的大小等于90度．故填90°．点评：本题是翻折问题，关键是抓住翻折前与翻折后，哪些元素(某些点、线)位置关系变与不变，对于已发生变化关系在几何体中解决，而对不变

7、的关系可在翻折前的平面内处理．六、学会用联系观点解决交汇题例6如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线解：∵点P到直线C1D1的距离即为P到C1的距离，∴在面BCC1B1中，P到定点C1的距离与P到定直线BC的距离相等，由抛物线的定义知，其轨迹应是抛物线，故选(D)．点评：这是一道以空间图形为背景的平面上的点的轨迹问题，是典型的立几与解几的交汇题．