单墫老师教你学数学 十个有趣的数学问题

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1、!!!!%如与自己以前写的数学小册子相比!史的比重增加了!搜集了一些资料!做了一番梳理"核查工作!这也算一种新的尝试吧,十个数学问题是什么!请读者自己看书!这里不再赘述!单墫$))+年于广州!!!!$目!录总序!0前言!00!!立方倍积!0#!!三等分任意角!0#!!!化圆为方!#1:!!挂谷问题!:32!!正方体的分解!"0"!!正整数集上的库拉托夫斯基问题!""3!!能兜住地球的网兜!3!1!!0!个球的问题!314!!球的装箱!0$00$!!平面对称群!00$附录!看"波利亚的相册#!0!#!!!!!!立方倍积!"!源起"""""""""""""""

2、""""""""""""传说在公元前四百多年!希腊的雅典发生了时疫!人们为了消除灾难!便向!"#$%的太阳神庙去求助!遵照神谕!必须把立方的祭坛增大一倍!疫病才不会流行!一位自作聪明的设计师将祭坛的每边增大一倍!做了一个新的祭坛放在太阳神庙里!结果太阳神大怒!疫势更加猖獗!人们发现新祭坛体积是原来的八倍!而不是两倍!那么应当怎样做才符合要求呢!这就是著名的立方倍积问题!也称为!"#$%问题!更早一些!有一位不出名的希腊诗人叙述过类似的问题!说的是希腊神话中的国王米诺"&’($%#要儿子格劳卡斯")#*+,+%#将给他建造的坟墓增大一倍!并说$%只要将每边增

3、大一倍!就可以实现我的要求!&这种传说大多是无稽之谈!但对于问题的传播起了推波助澜的作用!确切的是这个问题很早就产生了!而且很多古希腊的学者!例如柏拉图"-#*.$!约前/01’约前2/1#及其学派!都曾研究过这个问题!""!!!!"!"#等价形式"""""""""""""""""""""""""""立方倍积的第一个真正进展是希波克拉特"此人在%化圆为方&一章中还要说到#给出问题的一个等价形式!这种形式便于用相似三角形等方法进行讨论!设"为已知立方体的边长!#为所求立方体的边长!则22#$0"!"3#希腊人早就知道#在"与0"之间!希波克拉特在#与0"之间

4、再插入一项%!使"!#!%!0"成等比数列!即有"&#$#&%$%&0"!"0#!!反之!若"0#成立!则00"#$"#!#"从而"3#成立!所以立方倍积问题等价于在"与0"之间插入两项#!%!使"!#!%!0"成等比数列!!"$实际与理论"""""""""""""""""""""""""""作为一个实际问题!改建祭坛的工作一点也不困难!不妨设原祭坛边长"为3米"或3个长度单位#!则新祭坛2边长#为槡0米!2问题即如何作槡0米的长度!在实际施工时!必然采取近似作法!实际上!即使作0米的长度!也就是将原长度3米延长至0倍!虽然可以用圆规直尺来作!从理论上说是

5、准确的!但在操""""!!!!#作时仍不免产生误差!谁见过恰好长3米或长0米的线段"一点误差也没有#!2不难算出槡0$3!0455036(!用3!076米为边作一个立方体!它的体积大约就是0米2!和0米2的误差不超过6!663米2!2即使在理论上能作出长为槡0的线段!实际施工时也不免产生误差!6!3厘米的误差应当在许可范围之内!所以采用上面的近似值进行制作!是无可非议的!作为一个理论问题!希腊人要求仅用圆规与直尺准确地"在22理论上#作出长为槡0的线段!而不是长度近似于槡0的线段!这里的圆规)直尺有以下功能$"3#过两点作一条直线*"0#以一点为圆心!过任

6、一点画圆*"2#在任一射线’(上截取线段’)与已知线段相等!有限多次地使用圆规)直尺进行上述2项作图!称为尺规作图!希腊人为什么限定用圆规)直尺作图!并将规)尺的功能加以限定呢!一方面!规)尺是基本的作图工具!初等几何中的图形也都是由直线与圆组成的!似乎都可以通过尺规作图作出来!另一方面!希腊的学者!例如柏拉图!非常重视数学在训练智力方面的作用!认为限制作图工具有助于培养逻辑思维能力*欧几里得更强调从最少的基本假定"定义)公理#出发!推出尽可能多的命题!所以作图工具也相应地剩下少到不能再少的规)尺两种!但是!尺规作图有其局限性!很多作图问题!不能用尺规作图

7、完成!最著名的就是立方倍积)三等分任意角和化圆为方!它们称为几何作图的三大问题!两千多年来!无数的聪明才智倾注!!!!$在这几个问题之中!这几个问题!在35世纪业已解决!3821年!旺策尔"-’"99":*+9"(.;*(.<"#!383/’38/8#证明了立方倍积与三等分任意角都是不可能尺规作图的!3880年林德曼"="9>’(*(>:’(>"?*((!3840’3525#证明了!是超越数!从而化圆为方也是不可能尺规作图的!!"%!不可能"的证明"""""""""""""""""""""""""""怎样证明一个作图问题不可能用尺规作图解决呢!古希腊人无法

8、解决这样的问题!因为他们没有跳出初等几何的圈子!%不识庐山真面目!