十个有趣的数学问题

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1、十个有趣的数学问题单墫上海教育出版社出版发行（上海永福路１２３号）（邮政编码：２０００３１）各地经销上海〇〇印刷厂印刷开本７８７×１０９２１／３２印张４．７５字数９７，０００１９９９年２月第１版１９９９年２月第１次印刷印数１－００，０００本犐犛犅犖７－５３２０－６１８１－７／犌·６３３６定价：０．００元十个有趣的数学问题单墫上海教育出版社前言１９９６年夏天，田廷彦先生约我为他们的《科学》杂志撰稿，因此写了“挂谷问题”、“十三个球的问题”等几篇文章．后来叶中豪先生又鼓励我将这些材料搜集成书，于是补充了几篇，凑成十全之数．除去“正整数

2、集上的库拉托夫斯基问题”一篇有一点我自己独创的工作外，其他９篇，就数学而言，都是前人已有的结果．我所作的属于普及工作，即介绍这些问题，使它们能为更多的人知道．数学，是一门博大精深的学问．能从事一线研究的只是少数天才或准天才．但数学又是一种文化，应当使尽可能多的人了解它，对它产生兴趣，在各种不同的层次上学习数学，研究数学．就像体育运动一样，绝大多数参加体育运动的人并不想争奥运会冠军，而只是喜爱某项运动．因此，数学的普及工作是十分有意义的．由于数学问题往往有相当的深度，所以数学的普及应当有不同的层次．层次越高，则数学内容越多．层次越低

3、，则故事性、趣味性越强，读者面也更广泛．这里所说的层次高低，并不意味水平的高低．越通俗的报告，往往越贴近问题的实质，越需要高超的表达技巧，正如华罗庚先生所说“深入浅出是真功夫：．”笔者从事数学普及工作多年，深感普及工作是一件吃力而不易讨好之事．这本小册子介绍的问题，大多本身饶有趣味，而且有人已经写过．笔者虽有站在前人肩上的便宜，但是·１·否写得更好却没有丝毫把握．如与自己以前写的数学小册子相比，史的比重增加了，搜集了一些资料，作了一番梳理、核查工作．这也算一种新的尝试吧！十个数学问题是什么，请读者自己看书，这里不再赘述．单墫１９９

4、８年于广州师范学院计算机教育软件研究所·２·目录一、立方倍积⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯１二、三等分任意角⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯１１三、化圆为方⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯２５四、挂谷问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯４４五、正方体的分解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯５７六、正整数集上的库拉托夫斯基问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯６２七、能兜住地球的网兜⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯６９八、十三个球的问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯７４九、球的装箱⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯９７十、平面对称群⋯⋯⋯

5、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯１０５附录看《波利亚的相册》⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯１３０一、立方倍积１．源起传说在公元前四百多年，希腊的雅典发生了时疫．人们为了消除灾难，便向犇犲犾狅狊的太阳神庙去求助．遵照神谕，必须把立方的祭坛增大一倍，疫病才不会流行．一位自作聪明的总设计师将祭坛的每边增大一倍，做了一个新的祭坛放在太阳神庙里，结果太阳神大怒，疫势更加猖獗．人们发现新祭坛体积是原来的八倍，而不是两倍．那么应当怎样做才符合要求呢？这就是著名的立方倍积问题，也称为犇犲犾狅狊问题．更早一些，已有一位不出名的希腊诗人，叙述过：希腊神话中的

6、国王米诺（犕犻狀狅狊）要儿子格劳卡斯（犌犾犪狌犮狌狊）将给他建造的坟墓增大一倍，并说：“只要将每边增大一倍，就可以实现我的要求．”这种传说大多是无稽之谈，但对于问题的传播起了推波助澜的作用．确切的是这个问题很早就产生了，而且很多古希腊的学者，例如柏拉图（犘犾犪狋狅，约公元前３８４—约公元前３２２）及其学派，都曾研究过这个问题．２．等价形式立方倍积的第一个真正进展是希波克拉特（此人在化圆·１·为方那一章中还要说到）给出问题的一个等价形式，这种形式便于用相似三角形等方法进行讨论．设犪为已知立方体的边长，狓为所求立方体的边长，则３３狓＝

7、２犪．（１）希腊人早就知道狓在犪与２犪之间，希波克拉特在狓与２犪之间再插入一项狔，使犪，狓，狔，２犪成等比数列，即有犪∶狓＝狓∶狔＝狔∶２犪．（２）反之，如有（２）成立，则２２犪狓，＝（）狓犪从而（１）成立．所以立方倍积问题等价于在犪与２犪之间插入两项狓，狔，使犪，狓，狔，２犪成等比数列．３．实际与理论作为一个实际问题，改建祭坛的工作一点也不困难．不妨设原祭坛边长为犪＝１米（或１个长度单位），则新３祭坛边长为狓＝槡２米．３问题即如何作出槡２米的长度．在实际施工时，必然采取近似作法．实际上，即使作２米的长度，也就是将原长度１米延长至

8、２倍，虽然可以用圆规直尺来作，从理论上说是准确的，在操作时仍不免产生误差．谁见过恰好长１米或长２米的线段（一点误差也没有）？３不难算出槡２＝１．２５９９２１０⋯．用１．２６０米为边作一个立方体，它的体积就是２米３，误差不超过０．１（厘米）３．即使在