单墫老师教你学数学 覆盖

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1、!!!!$目!录总序!0前言!00!!覆盖!0#!!嵌入!#$!!!一些例题!!":!!凸集!202!!密度!"2"!!海莱"@’AAB#定理及其应用!31习题!13习题解答概要!0$$!!!!!!覆!盖在前言中已经提到圆的覆盖问题!圆是最简单而又用得最多的图形!为了明确起见!在本书中!我们把到定点"的距离等于定长#的点的集合称为圆周!把圆周及其内部!也就是到定点"的距离"#的点的集合称为圆!并记为#""!##或#"!"称为圆心!#称为半径!同样地!本书中说到的三角形$多边形$椭圆!也都是同时包括了这些图形的边

2、界及其内部的!而不单是指围成这些图形的边界!在本书中要遇到的图形是多种多样的!它们都是点的集合"点集#!现在我们给出覆盖的严格的定义!定义$!%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%设$$%是两个点集!如果点集$的每一个点都属于点集%"采用集合论的符号写!就是$&%#!那么我们就说点集%覆盖"包含#点集$!如果点集$的点不全属于点集%!那么我们就说点集%不覆盖"不包含#点集$!点集%"不#覆盖点集$!也常常说成点集$"不#被点集%覆盖!我们举两个简单的例子!如果点集$由一个点"组成!点集%为#""!##!圆显然

3、!!!!"覆盖自己的圆心!所以点集%覆盖点集$!如果点集$为#""!#!#!点集%为#""!###!##’#!!即点集$$%是同心圆!那么点集%覆盖点集$!这是因为点集$的任一点&到圆心"的距离"&"#!!但是#!"##!所以"&"##!这就是说&图!"!属于点集%"图!"!#!如果$覆盖%!%又覆盖$!那么$$%就是完全相同的图形了!这一点从直观上看很显然!它和集合论中%$&%及%&$($’%&是一回事!在本书中!更常用的是下面的定义#!请注意它与定义!不同的地方!定义$"!%%%%%%%%%%%%%%%%%

4、%%%$$%都是平面点集!如果能经过一个适当的运动!使得点集%成为点集%!!而%!覆盖点集$!那么我们就说点集%能覆盖点集$!如果不存在上述的运动!那么我们就说点集%不能覆盖点集$!这里所说的运动是指平移"平行移动#$绕一个定点的旋转$轴对称"反射#或者它们的有限多次的组合!显然一个点集%经过运动后得到的点集%!与原来的点集%除了位置不同外!是完全一样的"即图形%与%!合同#!点集%能"或不能#覆盖点集$!也常常说成点集$能"或不能#被点集%覆盖!%能覆盖&与%覆盖&不是完全相同的概念!但是为了简便起见!在不致

5、混淆的时候!我们对定义#中的点集%!与%不加严格区分!并且常常将点集%!也记作%!!!!!#下面的例!是在前言中已经提过的问题!例$!%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%已知$!’#""!!#!#!$#’#""#!###"##)#!#!是两个大小不等的圆!证明圆$#能覆盖圆$!!而圆$!不能覆盖$#!解!平移圆$#!使得圆心"#与"!重合!则圆$(#’#""!!###与圆$!’#""!!#!#是同心圆!因为#!*##!所以圆$(#覆盖圆$!!也就是圆$#能覆盖圆$!!其实!要证明圆$#能覆盖圆$!!并不一

6、定非要使圆心"#与"!重合不可!只要经过平移使点"#与"!之间的距离"##)#!就可以了!因为这时对于圆$!的任一点&!有"!&"#!!从而"参见图!"##"#&""!&*"!"#"#!*"##)#!#’##!图!"#因此&一定属于#""#!###!即圆$#能覆盖圆$!!这实际上就是说!我们可以将圆$!与圆$#的半径都减去#!!使$!收缩为一个点"!"我们称它为点圆"!#!而$#收缩为#""#!##$#!#!再由#""#!##$#!#显然覆盖点"!!导出原来的圆$#能覆盖圆$!!在覆盖问题中!这种收缩"或膨胀#

7、是经常采用的一种方法!后面我们还会遇到!现在来证明小的圆$!不能覆盖大的圆$#!虽然这个论断直观上很显然!但是证明却有点迂回!第一种方法是比较两个圆的面积!如果点集%能覆盖点集$时!那么由于$是%的子集!所以%的面积’$的面积!但!!!!$圆$的面积!##圆$的面积!##!!!*##所以圆$!不能覆盖圆$#!为了简便起见!本书中有时将点集$的面积也记作$!例如#"$+&+,或,&+,-的面积也记作#"$+&+,或,&+,-!第二种方法是比较两个圆的直径!为了今后的应用!我们先给出一般点集的直径的定义!定义$#!

8、%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%把点集$中任意两点&$+的距离&+的最大值记为.!即.’%&’’&+(!如果.是一个有限数!那么称.是点集$的直径!显然!当点集$为圆时!点集$的直径就是通常所说的圆的直径!不难证明三角形的直径就是这个三角形的最长的边!读者可以考虑一下弓形$扇形"或其他熟悉的图形#的直径是什么!一个点集的直径不一定只有一条!关于覆盖问题与直径的关系!有一个简单而