勾股定理能力提升答案与解析

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1、答案与解析：能力提升：　　1．分析：由于AB是中的一条直角边，故要求AB的长，只要求出BD，AD的长，　　　　　　利用勾股定理即可求出.　　　解：∵，　　　　　∴，　　　　　又∵，垂足为A，　　　　　∴，　　　　　∴，　　　　　∴，　　　　　∴，　　　　　在直角三角形BAD中，，　　　　　∴，　　　　　∴　　　答：AB的长为.　　2．分析:过B作AC的平行线BE与AD延长线相交于E,可证△ADC与△BED全等利用勾股定理和30°角所对的边是斜边的一半的定理可得∠BAD的度数.　　解：延长AD与AC的平行线BE相交于点E　　　　∵BD=DC　　　　∠BDE

2、=∠ADC(对顶角相等)　　　　∠DAC=∠DEB　　　　∴△ADC≌△EDB　　　　∴AC=BE且∠E=90°　　　　又AC=且∠E=90°　　　　∴∠BAD=30°　　3．解：Rt△ABC中，∠CAB=60°，∴∠B=30°(余角的性质)　　　　　∵AD平分∠BAC(已知)　　　　　∴∠DAB=∠CAB=30°(角平分线性质)　　　　　∴∠DAB=∠DBE(等量代换)　　　　　∴AD=DB(等角对等边)　　　　　∵Rt△DBE中，DE=5.6，∠B=30°(已知)　　　　　∴BD=2DE=11.2(cm)(直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一

3、半)　　　　　∴AD=11.2(cm)(等量代换)　　　　　同理Rt△ACD中，∠CAD=30°　　　　　∴CD=AD=5.6(cm)　　　　　∴BC=DC+DB=5.6+11.2=16.8(cm)　　　　　∴BC边的长为16.8厘米.　　4．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB　　　　　在△ABD和△CGD中:　　　　　∠ADB=∠CDG=90°　　　　　又∵∠CEB=90°　　　　　∴∠B+∠BAD=∠B+∠BCE=90°　　　　　∴∠BAD=∠BCE　　　　　又∵CG=AB　　　　　∴△ABD≌△CGD(A.A.S)　　　　　∴AD=DC　　　　　又∵AD

4、⊥DC　　　　　∠ADC=90°　　　　　∴∠ACB=∠DAC=45°　　5．解：在Rt△ADC中，∠ADC＝60°设DC=x，AD=2x,AC＝　　　　　由,解得x=1　　　　　∵BD＝2AD，　　　　　∴BD=4.　　　　　在Rt△ABC中，　　　　　即AB=　　　　　∴△ABC的周长=AB+BC+AC=　　6．证明：∵四边形BCC′D′为直角梯形，　　　　　　∴S梯形BCC′D′=(BC+C′D′)·BD′=.　　　　　　∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，　　　　　　∴∠BAC=∠B′AC′.　　　　　　∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠C

5、AB′+∠BAC=90°.　　　　　　∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=ab+c2+ab=.　　　　　　∴=.　　　　　　　∴a2+b2=c2.　　7．分析：容易知道三角形ΔAEF≌ΔAED，则AF=AD=BC=10，易求得BF、CF，在RtΔEFC中，　　　　　　满足EF2=CE2+CF2.　　　解：设CE=x，则DE=8－x，　　　　　由条件知：ΔAEF≌ΔAED，∴AF=AD=10，EF=DE=8－x，　　　　　在ΔABF中，BF2=AF2－AB2=102－82=62，　　　　　∴BF=6，∴FC=4，　　　　　在Rt

6、ΔEFC中：EF2=CE2+CF2，∴(8－x)2=x2+42，　　　　　即64－16x+x2=16+x2，∴16x=48，x=3，　　　答：EC的长为3cm.综合探究：　　1．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.　　　他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．（2011浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵　　　爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而

7、成，记图中正　　　方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2，S3．若S1+S2+S3＝10，则S2的值是_____．　　　　　　　　　　　　　3．已知△ABC中，AB=40，AC=30，BC边上的高为24.求△ABC的面积.　　4．已知A(1，3)，B(4，2)，点P为x轴上一点.求使AP+BP的值最小时点P的坐标和AP+BP的最小值.答案与解析：综合探究：　　1．思路点拨：本题是一道实际问题，要算走的步数，则只需计算出“路AB”的长度.由AB是Rt△ABC的斜边.根据勾股定理可以求出AB的长度.　　解：因为AC=3m，BC=4

8、m，根据勾股定理可得　　　　AB2=AC2+BC2=32+42=25，所以AB=