1质点运动学习题思考题

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1、习题11-1.已知质点位矢随时间变化的函数形式为其中为常量.求:(1)质点的轨道;(2)速度和速率。解:(1)由,知:,消去t可得轨道方程:∴质点的轨道为圆心在(0,0)处,半径为R的圆;(2)由,有速度:而,有速率:。1-2.已知质点位矢随时间变化的函数形式为,式中的单位为m,的单位为s。求:(1)质点的轨道;(2)从到秒的位移;(3)和秒两时刻的速度。解:(1)由,可知,消去t得轨道方程为:,∴质点的轨道为抛物线。(2)由,有速度:从到秒的位移为:(3)和秒两时刻的速度为:,。1-3.已知质点位矢随时间变化

2、的函数形式为,式中的单位为m,的单位为s.求:(1)任一时刻的速度和加速度;(2)任一时刻的切向加速度和法向加速度。解:(1)由,有:,,有:;(2)而,有速率:∴,利用有:。1-4.一升降机以加速度上升,在上升过程中有一螺钉从天花板上松落,升降机的天花板与底板相距为,求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解法一:以地面为参照系,坐标如图,设同一时间内螺钉下落的距离为,升降机上升的高度为,运动方程分别为(1)(2)(3)(注意到为负值,有)联立求解,有:。解法二:以升降机为非惯性参照系,则重力加速度修正为,利用,

3、有:。61-5.一质量为的小球在高度处以初速度水平抛出,求:(1)小球的运动方程;(2)小球在落地之前的轨迹方程;(3)落地前瞬时小球的,,。解:(1)如图,可建立平抛运动学方程:,,∴;(2)联立上面两式,消去t得小球轨迹方程:(为抛物线方程);(3)∵,∴,即:,在落地瞬时,有:,∴又∵,∴。1-6.路灯距地面的高度为,一身高为的人在路灯下以匀速沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动,并求其速度.证明:设人向路灯行走,t时刻人影中头的坐标为,足的坐标为,由相似三角形关系可得:,∴两边对时间求导有:,考虑到:

4、,知人影中头的速度:(常数)。1-7.一质点沿直线运动,其运动方程为(m),在t从0秒到3秒的时间间隔内,则质点走过的路程为多少?解:由于是求质点通过的路程,所以可考虑在0~3s的时间间隔内,质点速度为0的位置:若解得,。1-8.一弹性球直落在一斜面上,下落高度,斜面对水平的倾角,问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等,碰撞时人射角等于反射角)。6解:小球落地时速度为,建立沿斜面的直角坐标系,以小球第一次落地点为坐标原点如图示,→(1)→(2)第二次落地时:,代入(2)式得:

5、,所以:。1-9.地球的自转角速度最大增加到若干倍时,赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为,设赤道上重力加速度为。解:由向心力公式:,赤道上的物体仍能保持在地球必须满足:,而现在赤道上物体的向心力为:∴1-10.已知子弹的轨迹为抛物线,初速为,并且与水平面的夹角为。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解:(1)抛物线顶点处子弹的速度,顶点处切向加速度为0,法向加速度为。因此有:,;(2)在落地点时子弹的,由抛物线对称性,知法向加速度方向与竖直方向成角,则:,有:则:

6、。1-11.一飞行火箭的运动学方程为,其中b是与燃料燃烧速率有关的量,u为燃气相对火箭的喷射速度。求:(1)火箭飞行速度与时间的关系;(2)火箭的加速度。解:一维运动,直接利用公式:,有:(1),(2)1-12.飞机以的速度沿水平直线飞行,在离地面高时,驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上,问:投放物品时,驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解:设此时飞机距目标水平距离为有:6┄①,┄②联立方程解得:,∴。1-13.一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动,物体初速为,而气球以速度

7、匀速上升,问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少?解:物体在任意时刻的速度表达式为:故气球中的观察者测得物体的速度代入时间t可以得到第二秒末物体速度:,(向上)第三秒末物体速度:第四秒末物体速度:(向下)。思考题11-1.质点作曲线运动,其瞬时速度为,瞬时速率为,平均速度为,平均速率为,则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?(A);(B);(C);(D)答:(C)1-2.沿直线运动的物体,其速度大小与时间成反比,则其加速度的大小与速度大小的关系是:(A)与速度大小成正比;(B)与

8、速度大小平方成正比;(C)与速度大小成反比;(D)与速度大小平方成反比。答:B1-3.如图所示为A,B两个质点在同一直线上运动的图像,由图可知(A)两个质点一定从同一位置出发(B)两个质点都始终作匀加速运动(C)在末两个质点相遇(D)在时间内质点B可能领先质点A答:D1-4.质点的关系如图,图中,,三条线表示三个速度不同的运动.问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大?哪一个速度小?答:

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