2004年全国初中数学竞赛(讲解版)

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1、2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案和评分标准一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分)1.已知实数,且满足,.则的值为().(A)23(B)(C)(D)答:选(B)∵a、b是关于x的方程的两个根,整理此方程,得,∵,∴,.故a、b均为负数.因此.2.若直角三角形的两条直角边长为、,斜边长为,斜边上的高为,则有().(A)(B)(C)(D)答:选(C)∵,,∴,;因此,结

2、论(A)、(D)显然不正确.设斜边为c,则有,,即有,因此,结论(B)也不正确.由化简整理后,得,因此结论(C)是正确的.73.一条抛物线的顶点为(4,),且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负,则a、b、c中为正数的().(A)只有(B)只有(C)只有(D)只有和答:选(A)由顶点为(4,),抛物线交x轴于两点,知a>0.设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为,,即为方程的两个根.由题设,知,所以.根据对称轴x=4,即有,知b<0.故知结论(A)是正确的.4.如图所示,在△ABC中,DE∥AB∥FG,且FG到DE、AB的距离之比为1:2.若△

3、ABC的面积为32,△CDE的面积为2,则△CFG的面积S等于().(A)6(B)8(C)10(D)12(第4题图)答:选(B)由DE∥AB∥FG知,△CDE∽△CAB,△CDE∽△CFG,所以,又由题设知,所以,,故,于是,.因此,结论(B)是正确的.5.如果x和y是非零实数,使得和,那么x+y等于().7(A)3(B)(C)(D)答:选(D)将代入,得.(1)当x>0时,,方程无实根;(2)当x<0时,,得方程解得,正根舍去,从而.于是.故.因此,结论(D)是在正确的.二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6.如图所示,在△A

4、BC中,AB=AC,AD=AE,,则(度).答:°解:设,由AB=AC知,(第6题图),由AD=AE知,,所以.7.据有关资料统计,两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n(单位:万人)以及两城市间的距离d(单位:km)有的关系(k为常数).现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示,且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t,那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为次(用t表示).答:解:据题意,有,∴.(第7题图)因此,B、C两个城市间每天的电话通话次数为.78.已知实数a、b、x、y满足,,则.答:解

5、:由,得,∵,∴.因而,.9.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),,BC=CD=12,,若AE=10,则CE的长为.答:4或6(第9题图)解:延长DA至M,使BM⊥BE.过B作BG⊥AM,G为垂足.易知四边形BCDG为正方形,所以BC=BG.又,∴Rt△BEC≌Rt△BMG.∴BM=BE,,∴△ABE≌△ABM,AM=AE=10.设CE=x,则AG=,AD=,DE=.在Rt△ADE中,,∴,即,解之,得,.故CE的长为4或6.10.实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,则z的最大值是.答:解:∵,,∴x

6、、y是关于t的一元二次方程的两实根.∵,即7,.∴,当时,.故z的最大值为.三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)11.通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表示学生注意力越集中).当时,图象是抛物线的一部分,当和时,图象是线段.(1)当时,求注意力指标数y与时间x的函数关系式;(2)一道数学竞赛题需要讲解24分钟.问老师能否经过适当安排

7、,使学生在听这道题时,注意力的指标数都不低于36.解:(1)当时,设抛物线的函数关系式为,由于它的图象经过点(0,20),(5,39),(10,48),所以(第11(A)题图)解得,,,.所以,.…………………(5分)(2)当时,.所以,当时,令y=36,得,解得x=4,(舍去);当时,令y=36,得,解得.……………………(10分)因为,所以,老师可以经过适当的安排,在学生注意力指标数不低于36时,讲授完这道竞赛题.……………………(15分)12.已知a,b是实数,关于x,y的方程组7有整数解,求a,b满足的关系式.解:将代入,消去a、

8、b,得,………………………(5分).若x+1=0,即,则上式左边为0,右边为不可能.所以x+1≠0,于是.因为x、y都是整数,所以,即或0,进而y=8或0.故或………………………(10分)当时

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