2004年全国初中数学竞赛(讲解版)

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1、2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案和评分标准一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分）1.已知实数，且满足，.则的值为（）.（A）23（B）（C）（D）答：选（B）∵a、b是关于x的方程的两个根，整理此方程，得，∵，∴，.故a、b均为负数.因此.2.若直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，斜边上的高为，则有（）.（A）（B）（C）（D）答：选（C）∵，，∴，；因此，结

2、论（A）、（D）显然不正确.设斜边为c，则有，，即有，因此，结论（B）也不正确.由化简整理后，得，因此结论（C）是正确的.73．一条抛物线的顶点为（4，），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（）.（A）只有（B）只有（C）只有（D）只有和答：选（A）由顶点为（4，），抛物线交x轴于两点，知a>0.设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为，，即为方程的两个根.由题设，知，所以.根据对称轴x=4，即有，知b<0.故知结论（A）是正确的.4．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1:2.若△

3、ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）.（A）6（B）8（C）10（D）12（第4题图）答：选（B）由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以，又由题设知，所以，，故，于是，.因此，结论（B）是正确的.5．如果x和y是非零实数，使得和，那么x+y等于（）.7（A）3（B）（C）（D）答：选（D）将代入，得.（1）当x>0时，，方程无实根；（2）当x<0时，，得方程解得，正根舍去，从而.于是.故.因此，结论（D）是在正确的.二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图所示，在△A

4、BC中，AB=AC，AD=AE，，则（度）.答：°解：设，由AB=AC知，（第6题图），由AD=AE知，，所以.7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市间的距离d（单位：km）有的关系(k为常数).现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为次（用t表示）.答：解：据题意，有，∴.（第7题图）因此，B、C两个城市间每天的电话通话次数为.78．已知实数a、b、x、y满足，，则.答：解

5、：由，得，∵，∴.因而，.9．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，，BC=CD=12,，若AE=10，则CE的长为.答：4或6（第9题图）解：延长DA至M，使BM⊥BE.过B作BG⊥AM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形，所以BC=BG.又，∴Rt△BEC≌Rt△BMG.∴BM=BE，，∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.设CE=x，则AG=，AD=，DE=.在Rt△ADE中，，∴，即，解之，得，.故CE的长为4或6.10．实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是.答：解：∵，，∴x

6、、y是关于t的一元二次方程的两实根.∵，即7，.∴，当时，.故z的最大值为.三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）.当时，图象是抛物线的一部分，当和时，图象是线段.（1）当时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟.问老师能否经过适当安排

7、，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.解：（1）当时，设抛物线的函数关系式为，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以（第11（A）题图）解得，，，.所以，.…………………（5分）（2）当时，.所以，当时，令y=36，得，解得x=4，（舍去）；当时，令y=36，得，解得.……………………（10分）因为，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题.……………………（15分）12．已知a，b是实数，关于x，y的方程组7有整数解，求a，b满足的关系式.解：将代入，消去a、

8、b，得，………………………（5分）.若x+1=0，即，则上式左边为0，右边为不可能.所以x+1≠0，于是.因为x、y都是整数，所以，即或0，进而y=8或0.故或………………………（10分）当时