【数学】上海市宝山区顾村中学2014-2015学年高二上学期期中考试

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1、上海宝山区顾村中学2014-2015学年第一学期期中考试试卷高二数学一、填空题(每题3分,共30分)1、2和6的等差中项是_______.【答案】4;【解析】依据等差中项定义,易知,即2和6的等差中项是4.2、计算:_______.【答案】2;【解析】.3、_______.【答案】;【解析】依据矩阵的线性运算法则,可得4、数列的前项和,则数列的通项公式为_______.【答案】;【解析】依据,可得,又时亦符合,所以.5、已知,,则_______.【答案】;【解析】可以直接带入求解.,,,6、不等式的解集为_______.【答案】;【解析】,解之7、已知,,与的夹角为,则_______.6【

2、答案】;【解析】,所以8、已知向量,,与的夹角为钝角,则的取值范围为_______.【答案】;【解析】与的夹角为钝角且与不共线,所以有,解之.9、已知数列为等比数列,且前项和(为实数),则_______.【答案】;【解析】由,可得,又为等比数列,所以有,结合,可得.10、观察如图数表,根据表中的变化规律,为与数表中的第_______行,第_______列.【答案】第行,第列.【解析】数表问题关键在于找到里面的变化规律,通过观察不难发现,数表第行的最后一个数刚好为一个平方数,第行的数据个数刚好为个,结合,,可知位于第行,再从行最后一个数字(第行,第列)往前推,可以得到在第行,第列.二、选择题

3、(每题4分,共16分)11、数列的一个通项公式是()A.B.C.D.【答案】B【解析】可以采用代入法逐一排除,易知选择B.12、向量,,则,关系为()A.垂直B.同向平行C.反向平行D.共线【答案】A.【解析】快速排除B,C,D,语义重复,选择A.另外结合,同样可得.613、已知数列满足,则共有()项.A.B.C.D.【答案】D.【解析】由于,从而可得,所以共有项.14、在等比数列中,,且前项和满足,则首项的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D.【解析】结合无穷等比数列前项和极限存在的条件,且,所以有:,解之三、解答题(满分54分)15、(本题满分8分)解关于、的方程组,并对解的情况进

4、行讨论.【答案】当时,解为;当时,解为;当时,方程组无解.【解析】,,(1)当时,方程组有唯一解,此时,即;(2)当时,,方程组有无穷多组解,通解可表示为;(3)当时,,,,此时方程组无解.16、(本题满分8分)已知数列为等差数列,满足:,,求数列的通项公式.6【答案】或.【解析】根据等差数列的性质,易知,又,所以或,当,此时数列的通项公式为;当时,数列的通项公式为.17、(本题满分8分)已知,(其中、分别为、轴正方向的单位向量)(1)若,求、的夹角;(2)若,求实数的值.【答案】(1);(2).【解析】易知,(1)当时,,,设、的夹角的夹角为,则,所以;(2)由于,,所以,,由可得:,即

5、,解之.18、(本题满分10分)已知数列中,,它的前项和.如果是一个首项为,公比为的等比数列,且,求.【答案】当时,;当时,;当时,.【解析】易知数列亦为等比数列,且首项为,公比为.(1)当时,,,;(2)当时,;6①当时,;②当时,19、(本题满分10分)已知,与的夹角为,与的夹角为,且,求实数、的值.【答案】【解析】如图所示建立直角坐标系,则,,,由于,所以有:,解之.20、(本题满分10分)已知数列的前项和.(1)计算、、、;(2)猜想的表达式,并用数学归纳法证明;(3)对于任意的正整数都有,求实数的取值范围.6【答案】(1),,,;(2),证明见解析;(3).【解析】(1),,,;

6、(2)由(1)可以猜想①当时,显然成立;②假设,,当时,,说明时,猜想也成立;综合①②,猜想成立.(3),随着增大,增加,但,由于对均成立,所以即可.6

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