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1、矩阵论报告——排污问题20121213081-李发传-2012级通信1班《矩阵论》课程课外报告排污问题的矩阵方法求解姓名：李发传学号：20121213081学院：通信工程学院20currencydeposit,weprescribeapassonaregularbasis,qilucardaccountonaregularbasis),certificatebondsandsavingsbonds(electronic);3.notdrawnonabanksavingscertificate,certificatebondsapplyformortgageloans,a
2、cceptingonlythelender3矩阵论报告——排污问题20121213081-李发传-2012级通信1班排污问题的矩阵方法求解李发传（通信工程学院20121213081）摘要：本文采用矩阵函数在微分方程组中的应用来解决问题描述中所提到的排污问题。通过分析得出结论：第三桶的污水排的最快，其次是第二桶，最慢的是第一桶，它们都以指数的方式衰减。1问题描述考虑体积均为V加仑的三个装满脏水的桶刚开始在编号为i的桶里面含有污染物ci磅。为了排除污染物，所有的水龙头同时打开，使得新鲜水以r加仑/秒得速度流进3号桶顶部，同时在它的底部的龙头也以r加仑/秒得速度流进2号桶顶部
3、，而2号桶的底部的龙头同时也以r加仑/秒得速度流进1号桶顶部，最后1号桶的底部以r加仑/秒的速度把水排向其他地方。当水龙头开后，在任何有限时间t>0时，每个箱子中含污物有多少磅？直观上可由下图1表示：图1排污示意图2问题分析我们设第i桶在t时刻含有污染物为,则在t+Δt时刻含有污物为i桶本有的加上第i+1桶流进的然后减去i桶流到i-1桶的污物，将其表达成如式（1）：（1）把方程（1）化简并两边取极限得式（2）：20currencydeposit,weprescribeapassonaregularbasis,qilucardaccountonaregularbasis)
4、,certificatebondsandsavingsbonds(electronic);3.notdrawnonabanksavingscertificate,certificatebondsapplyformortgageloans,acceptingonlythelender3矩阵论报告——排污问题20121213081-李发传-2012级通信1班（2）即（3）根据题目条件及（3）式分别写出各桶在t时刻所含的污染物：（4）将（4）式写成矩阵形式有：（5）式中：A=，X=其初始条件为X(0)=由矩阵论知识知道关于（5）式的一阶线性常系数微分方程组有且有惟一解：（6）
5、现在求A的特征值=容易验证，所以A的最小多项式为：可设（7）由此可得线性方程组：20currencydeposit,weprescribeapassonaregularbasis,qilucardaccountonaregularbasis),certificatebondsandsavingsbonds(electronic);3.notdrawnonabanksavingscertificate,certificatebondsapplyformortgageloans,acceptingonlythelender3矩阵论报告——排污问题20121213081-李发
6、传-2012级通信1班解此方程组得：（8）将式（8）代入式（7）得：（9）将式（9）代入式（6）中得：X=（10）将式（10）解得：（11）由此求得在任意t>0时候各桶所含污染物的含量。3结论由式（11）可得出如下结论：（1）各桶污染物含量随时间呈指数衰减，衰减的速度取决于各桶初始污物含量和-r/v的值；（2）总的来说，第3桶中污物含量减少速度的最快，其次是第2桶，最后是第1桶。20currencydeposit,weprescribeapassonaregularbasis,qilucardaccountonaregularbasis),certificatebond
7、sandsavingsbonds(electronic);3.notdrawnonabanksavingscertificate,certificatebondsapplyformortgageloans,acceptingonlythelender3
