高等数学课程教案讲义（中）

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1、第五章定积分一、教学目标与基本要求1、理解定积分的概念和基本性质，使学生牢固掌握定积分概念，理解定积分是一种和式极限，对定积分解决问题的思想有初步体会。2、理解变上限定积分定义的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼茨公式。通过学习，使学生更深入理解定积分和不定积分，微分和积分间的联系。3、掌握定积分的换元法与分部积分法4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。5、了解定积分的近似计算法。6、理解定积分的来源，几何及物理意义，为以后学习其他专业课程打下基础掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变

2、力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、教学内容及学时分配：第一节定积分的概念与性质2学时第二节微积分基本公式2学时第三节定积分的换元法和分部积分法3学时第四节反常积分2学时三、教学内容的重点及难点：1、重点：定积分的概念和性质。微积分基本定理，积分的换元积分法。广义积分。2、难点：定积分概念的规则。定积分的换元积分法和分步积分法的运用四、教学内容的深化和拓宽：1、无穷限反常积分的审敛法2、无界函数的反常积分的审敛法3、Γ函数5.1定积分概念一、内容要点1、定积分问题举例（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、定积分定义3、定积分慨念的意义第-141–页定积分慨念具有

3、广泛的直观背景，在各种科技领域中有大量实际问题，都可归结为教学上的定积分问题，这些问题再应用中有详细讨论。4、定积分的存在定理连续或在区间上只有有限个第一类间断点，则定积分存在。5、定积分的性质（1）线性性（2）可加性（3）单调性（4）估值性（5）定积分中值定理二、教学要求与注意点教学要求：正确理解定积分的概念极其简单性质。注意点：(1)(2)(3)(4)定积分的几何意义（5）用定义计算三、作业同步训练291定积分的定义不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，

4、记在[]上任意取一点，作和式：如果无论[a,b]作怎样分割，也无论在[]怎样选取，只要有第-141–页I（I为一个确定的常数），则称极限I是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做即I=其中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。注1．定积分还可以用语言定义2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=和S=3有定义知道表示一个具体的书，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x无关，即==4定义中的不能用代替5如果存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满

5、足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：在[0，1]上不可积。可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。以下给出两个充分条件。定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。定理3设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。第-141–页6几何意义当f(x)0时，表示曲边梯形的面积；当f(x)0时，表示曲边梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则表示曲边梯形面积的代数和。[例1]计算解：显然f(x

6、)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n个等分，分点为，，取作和式：所以：=e-17．按照定义5．2定积分的性质积分中值定理有定积分的定义知，是当ab时无意义，但为了计算及应用的方便，特作两个规定：1．a=b时，=02．a>b时，=-性质1：和差的定积分等于它的定积分的和差，即第-141–页性质2：常数因子可以外提（可以推广到n个）性质3：无论a,b,c的位置如何，有性质4：f(x)则性质5：若f(x)g(x)则性质6：性质7：设在，，则性质8：（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则[a,b]上至少存一

7、点，使下式成立，例1．利用定积分几何意义，求定积分值上式表示介于,,,之间面积例2、（估计积分值）证明证：在上最大值为，最小值为2第-141–页∴∴5．2微积分基本公式一、内容要点１、　变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系２、　积分上限函数３、　积分上限函数的导数４、　牛顿—莱布尼兹公式５、　举例例1例2例3例4设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，证明：在开区间（a，b）内至少存在一点x，使例5设函数f（x）在[0，+¥）内连续，并且f（x）>0，证明：F（x）=在（0，+¥）内为单调增加函数