常微分方程练习题

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1、常微分方程练习题班级：学号：姓名：第一二章一．填空题1．称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为。2．一阶微分方程是恰当方程的充分必要条件是________________。3.方程有只含的积分因子的充要条件是__________________。有只含的积分因子的充要条件是________________________。4．称为伯努利方程，它有积分因子。5.一曲线经过原点，且曲线上任意一点处的切线斜率为，则曲线方程为_____________________。二.求一曲线，其切线在纵轴之截距等于切点的横坐标。三.求出伯

2、努利方程的积分因子。四．求下列方程的通解。1．2.=3．x(4ydx+2xdy)+y(3ydx+5xdy)=04．（y-1-xy）dx+xdy=05．=y+sinx6．(xy+xy)y=17．(x-1)y+y-2xy+1=08.dx+dy=09.。10.7五．证明题。1．一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程的解2．齐线性方程的任一解的常数倍或任两解之和仍为其解。第三章一．填空：1．函数f(x,y)称为在矩形域R上满足利普希兹条件，如果。2．对毕卡逼近序列，。3．若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普

3、希兹条件，则方程的解作为的函数在它的存在范围是。4．微分方程的奇解是指__________________________。5．方程定义在矩形域R：上，则经过点（0，0）的解的存在区间是_____________________-。二．求解下列各题：1．求方程过点（0，0）的第三次近似解。2．求初植问题R；的解的存在区间，并求第二近似解，给出解的存在区间的误差。三．证明题：假设函数于的领域内是y的不增函数，试证方程满足条件的解于一侧最多只有一个。第四章一．填空：1．_____________________称为n阶齐线性微

4、分方程。2．非零为二阶齐线性方程的解，这里和于区间上连续，则是方程解的充要条件是_________________。３．常系数非齐线性方程中，若，其中与为实常数，那么方程有形如___________的特解。４．在n阶常系数齐线性方程中，为常数，则它的特征方程为7_____________________。５．若方程中满足_______________条件，则方程有形如的特解。６．微分方程的阶数为_____________。７．设是二阶齐线性方程的一个解,则方程的通解可表为________８．解线性方程的常用方法有____、

5、_____、_____、_____９．若为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________.10.若为齐线性方程的一个基本解组,为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___.11.若1，2，……，是齐线性方程的个解，为其伏朗斯基行列式，则满足一阶线性方程_______________________。12.函数_______________是微分方程的通解.13.微分方程满足初始条件的特解是__________________.14.方程的基本解组是．15.常系数方程有四个特征根分

6、别为（二重根），那么该方程有基本解组（）一．计算１．求通解２．求特解，３．设二阶非齐线性方程的三个特解为　求其通解４．求解方程５．求方程的通解7１．求方程的解．２．求解方程３．求初始问题的解：４．求解方程三．设可导函数满足，求四．证明题1.若函数为n阶齐线性方程的n个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式2．试证n阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。3.在方程中，在上连续，求证：若恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数．第五章一、填空题1．设是方程组的定义于区间上且满足初始条件的解，则是积

7、分方程_______________________的定义于上的______解。反之亦然。2．在证明用皮卡逼近时，我们对于所有的正整数有如下估计：______________。3．如果向量函数在区间上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式_______________。4．一定存在一个基解矩阵，如果是的任一解，那么_______________________。5．若是的基解矩阵，则向量函数=_____________是的满足初始条件的解；向量函数=__________________是的满足初始条件的解。76．写出关于矩阵指数

8、的性质_________________、_________________、____________________。7．非齐线性方程组满足初始条件的解=____________________________。8．假设是方程的三重根，则=_________。9．设分别是方程组，的解，则满足方程的一个