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1、第二章Hilbert空间和空间中的预报§2.1内积空间及其性质一、内积空间定义2.1.1设是复数域,是上的线性空间,如果对于中任意的,都存在一个复数与其对应,满足条件（1）对任意（2）对及（3）对一切，而且成立的充分必要条件是则称为中的内积，为复内积空间。例1．设,如果定义(2.1.1)则是实内积空间.例2.定义2.1.2内积空间的任一元素的模定义为(2.1.2)欧氏空间中,向量的模即长度(2.1.3)一、内积空间的性质1.Cauchy-Schwarz不等式:设是内积空间,则对一切有(2.1.4)
2、等式成立的充要条件是(2.1.5)内积空间内两元素之间的夹角(2.1.6)与正交的充要条件为2.三角不等式设是内积空间,则对一切,有(2.1.7)定理2.1.1(模的性质)设是复(实)内积空间,由(2.1.3)式定义,则(1)对(2)对(3)对一切成立的充要条件为1.平行四边形公式:设是内积空间,则对,有定理2.1.2(内积的连续性)设是内积空间,是中的点列,,当时,,则当时,有(1)(2)§2.2Hilbert空间、预报方程一.Hilbertspace定义2.2.1设是一线性空间,具有内积定义,
3、并且是完备的(Cauchy列皆属于的极限点),则称为Hilbert空间.例.二、空间设是概率空间,是定义在上的二阶矩有限的实随机变量的全体组成的集合,即则是线性空间.对,定义(2.2.1)为一内积.中随机变量的模空间中随机变量序列按模收敛定义为称均方收敛于,记为命题:空间是完备的.复空间内积:(2.2.2)如果是测度空间上任一非零有限测度,是定义在上的满足如下条件的复值函数集合(2.2.3)定义内积(2.3.4)则是Hilbert空间,称其为复Hilbert空间,记为引理2.2.1(按模收敛和柯西
4、准则)设是Hilbert空间中的点列,则按模收敛于的充要条件是,当例.一、投影定理和预报方程例1.例2.定义2.2.2(闭线性子空间)设是Hilbert空间,是的线性子空间,如果,且当时,,有,则称是的线性闭子空间.设是的线性子空间,,当与中的一切元素正交时,称与正交,记为.定义2.2.3(正交补集)设是Hilbert空间,是的子集,中所有与正交的元素的全体称为的正交补,记为.即(2.2.10)定理2.2.1（投影定理）设是Hilbert空间,是的闭线性子空间,则，记为到的距离（1）存在唯一元素，
5、使得（2.2.11）(2)成立的充分必要条件是且(称为在上的投影)
