时间序列分析

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1、第三章平稳时间序列分析第二节ARMA模型AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）一、AR模型(AutoRegressionModel)（一）AR模型定义具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p)xt01xt12xt2pxtptp02E(t)0，Var(t),E(ts)0,stEx0,stst特别当00时，称为中心化AR(p)模型AR(P

2、)序列中心化变换对于非中心化序列xxxxt01t12t2ptpt作变换011pyxtt则原序列即化为中心化序列yyyyt1t12t2ptpt所以，以后我们重点讨论中心化时间序列。AR模型的算子表示令2p(B)1BBB12p则AR(p)模型可表示为(B)xtt（二）AR模型平稳性判别判别原因：AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的。判别方法：特征根判别法，平稳域判别法。例3.1:考察如下四个模型的平稳性(1)xx0.8tt1t(2)x

3、x1.1tt1t(3)xx0.5xtt12tt(4)xx0.5xtt1t1t例3.1平稳序列时序图(1)xxt0.8t1t(3)xtxt120.5xtt例3.1非平稳序列时序图(2)xxt1.1t1t(4)xtxt10.5xt1t从时序图上可以看出，（1）（3）模型平稳，（2）（4）模型非平稳。（三）AR模型平稳性常用判别方法特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内。根据特征根和算子多项式的根成倒数的性质，AR(p)模型平稳的充要条件是该模型的算子多项式的根都在单位圆外。

4、平稳域判别平稳域为：{,,,单位根都在单位圆内}12p（四）两个常见模型的平稳性条件1、AR(1)模型平稳条件xxtt1t特征根为，平稳条件1平稳域为;1AR(1)模型的平稳性条件也可以如下讨论：对1阶自回归模型AR(1)XXtt1t方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差：2222E(X)E(X)E()2E(X)tt1tt1t由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t)=0。如果该模型稳定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：220X21在稳定条件下，该方差是一非负的

5、常数，从而有

6、

7、<1。而AR(1)的算子多项式方程：(z)1z0的根为z=1/AR(1)稳定，即

8、

9、<1，意味着特征根大于1。2、AR(2)模型平稳条件xxxt1t12t2t特征根为22441121121222由121,122平稳域知1,1等价于12{,1，且1}12221事实上，由于2+1=-12+(1+2)=1–(1-1)(1-2)2-1=-12-(1+2)=1–(1+1)(1+2)无论1,2为实数或共轭复数，由1<1,

10、2<1都有(11)(12)>0，从而得2+1<12-1<1且-1<2<1平稳域是一个三角形区域。见下图阴影部分。平稳AR(2)过程,取值域（阴影部分）12回归参数2，1的取值变化分三种情形讨论。（1）当12+42=0时，特征方程有相等实数根。2,1取值在图中的抛物线上，称为临界阻尼状态。(2)当12+42>0时，特征方程有不等实数根。2,1的值位于过阻尼区（自相关函数呈指数衰减）。(3)当12+42<0时，特征方程根为共轭复根。2,1的值位于欠阻尼区（自相关函数呈正弦震荡衰减）。AR(2)模型的平稳性也可以如下讨论：对A

11、R(2)模型：XXXt1t12t2t方程两边同乘以Xt，再取期望得：E(X)01122tt又由于：22E(X)E(X)E(X)E()tt1t1t2t2tt于是：201122同样地，由原式还可得到：1102121120于是方差为：2(1)20(1)(1)(1)21212由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有1+2<1,2-1<1,

12、2

13、<1对高阶自回模型AR(p)来说，