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1、第1章差分方程和滞后算子第一节差分方程一.一阶差分方程假定/期的y（输出变量）和另一个变最w（输入变量）和前一期的y之间存在如下动态方程：X=0儿一】+w（1）则此方程为一阶线性差分方程，这里假定w为一个确定性的数值序列。差分方程就是关于一个变量与它的前期值Z间关系的表达式。一阶差分方程的典型应用为美国货币需求函数:mt=0.27+0.72加一4-0.19厶一0.045%—0.019乙w,=0.27+0.197,-0.045^-0.019r,其小％为货币量，厶为真实收入，乙为银行账户利率，乙为商业票据利率。1）用递归替代法解差分方程根据方程（1）,可以得到0儿=0儿]+%1）']=
2、0）'o+W
3、2力=0）'1+%⑵••••••fyt=0x_i+叱如果我们知道r=-1期的初始值儿和w的各期值，则可以通过动态系统得到任何一个时期的值。即=0叶》_]+0‘Wo+....+w?（3）这个过程称为差分方程的递归解法。2）动态乘子：对于方程（3）,女眼%随儿1变动,而都与儿]无关,贝I」％对幵得影响为:韭=0或空也胡（4）6vv06>vf方程（4）称为动态系统的乘子，或脉冲响应函数（即暂吋性影响）。动态乘子依赖丁•j,即输入叫的扰动和输出的观察值之间的时间间隔。对于方程（1）,当0V0V1时，动态乘子按几何方式衰减到零；当-1V0VO,动态乘子振荡衰减到零；0〉1,动态
4、乘子指数增加；0<-1,动态乘子发散性振荡。因此
5、0
6、vl,动态系统稳定，即给定叱的变化的后果将逐渐消失。0〉1，系统发散。当0=1时,此时%=人+%+W[+.・・.+叱，即输出变量的增量是所有输入W的历史值之和。如果W产生持久性变化，即吟叱七…,W附都增加一个单位，此时持久性影响为：=0」+»卜'+(5)彷心I內中I取+jI....I取+j6叫dw/+ldwl+2•…8wl+j当
7、0
8、<1时，且/TOO是，持久性影响为如果考察叱的一个暂时性变化刈•输出V的累积性影响，则和长期影响一致。二."阶差分方程如果动态系统中的输出儿依赖于它的p期滞后值以及输入变虽叫:幵=仏+02儿2+••
9、…++叱(7)此时可以写成向量的形式，定义0i00…0卩一】%MB叫)11100・・・000X-2■■,F=010…00••••••••■■■••,儿=0••••••••000•…10•0从而（7）写成向量形式：W-+叫⑻这个系统由卩个方程组成。为了便于处理，将"阶数量系统变成一阶向量系统。还可以采用滞后算了的办法来处理这个系统。0期的歹值为：空二F」+Uo1期的§值为：^1=F^0+v1=F(^0=F^1+v0)+v1=F2^1+Fv()+v1门射的g值为:©=F,+l^+Frv0++Ff~2v2+....+Fv_+岭写成歹和”的形式为：儿2••=pl+ly-iy~2y~3••+
10、F%00•+严00■+....+f'00■+00■(9)■y/-卩+1•儿p■0•0•0•0该系统屮的第一个方程代表了X的值。令表示F屮第(1,1)个元索，/£)表示F屮第(1,2)个元素等等。于是兀的值为:(10)(11)x=/ii+,)J-i+/i2+1)k2+厝叽+•••+盘"儿〃+#：)%+/$%+・・・+卅)仏+叫或y,+j=+/i2+1)y,-2+盘妆-3+•••+卅妆-卩+fn)wt+斤广"性1+•••+卅％一1+w“j表示成初始值和输入变量历史值的函数。此时P阶差分方程的动态乘子:6vvz(12)字U0owr是FJ的(1,1)元素。因此对于任何一个p阶差分方程,(1
11、3)对于更大丿•值，通过分析表达式(12)就非常冇用。通过矩阵F的特征根地进行求解。矩阵F的特征根为满足下式的2值：F-Alf)=0(14)对于一个卩阶系统，行列式(14)为特征根久的0阶多项式，多项式的卩个解是F的P个特征根。定理1：00203…0/T100…00矩阵F=0■■1■■0■•…0■■■■•0■■的特征根由满足下式的2值组成■0■0■0■…1■0"―0/1—=0(15)1.具有相异特征根的p阶差分方程的通解此时存在一个(pxp)阶非奇异矩阵7满足F=TA厂1F2=TKT'TKT'=TFj=TjT~lA]00•••0「皆00•••o'%00…o'A=0A,0…0••
12、•••••••••••••,A2=0尤0…0••••••••…•••••，…,A*0召0•…0•••••••••••••••000…入p000…盂000••-盘其中A是一个（pxp）矩阵，主对角线由F得特征根组成，其它元素为零，即(17)刃表示的第i行、第丿•列的元素。因此方程为:人2…心"00…0_严，21：22…%p••■■■•0/•■0…••0■严严•••工卩102…Ipp.■0•0••0…••_tpl•严2斤
13、2/片2盘…岸严•••◎皆t22A，2…•••••
