一轮复习配套义：第8篇第2讲两条直线的位置关系

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1、第2讲　两条直线的位置关系[最新考纲]1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知识梳理知识梳理1．两直线平行与垂直(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．2．

2、两直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为

3、P1P2

4、＝.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离

5、OP

6、＝.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝.可以验证，当A＝0或B＝0时，上式仍成立．(3)两条平行线间的距离公式一般

7、地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝.辨析感悟1．对两条直线平行与垂直的理解(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(×)(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)(2013·天津卷改编)已知过点P(2,2)斜率为－的直线且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝2.(√)2．对距离公式的理解(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(×)(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(6)(教材

8、习题改编)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.(×)[感悟·提升]三个防范　一是在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．如(2)中忽视了斜率不存在的情况；二是求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式，如(4)；三是求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相同，如(6).考点一　两条直线平行与垂直【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1

9、⊥l2时，求a的值．解　(1)法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，l1∥l2⇔解得a＝－1，综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．法二　由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2⇔⇔⇒a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．(2)法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0

10、，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由·＝－1⇒a＝.法二　由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0⇒a＝.规律方法(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．【训练1】(2014·长沙模拟)已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直

11、线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)．A．－10B．－2C．0D．8解析　∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8，又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.答案　A考点二　两条直线的交点问题【例2】求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．解　法一　先解方程组得l1，l2的交点坐标为(－1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为－，于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－(x＋