三角函数图像和性质教案_总结_练习题

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1、2012三角函数图像与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3．函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径

2、一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。6．对称轴与对称中心：的对

3、称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。四．典例解析题型1：三角函数的图象例1．（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（

4、）解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。题型2：三角函数图象的变换例2．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。解析：y=sin（2x+）另法答案：（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。例3．（2003上海春，15）把曲线ycos

5、x+2y－1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）A．（1－y）sinx+2y－3=0B．（y－1）sinx+2y－3=0C．（y+1）sinx+2y+1=0D．－(y+1)sinx+2y+1=0解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C选项。题型3：三角函数图象的应用图例4．（20

6、03上海春，18）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标。解析：根据图象得A=2，T=π－（－）=4π，∴ω=，∴y=2sin（+），又由图象可得相位移为－，∴－=－，∴=.即y=2sin（x+）。根据条件=2sin（），∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π（k∈Z），∴x=4kπ+（k∈Z）或x=4kπ+π（k∈Z）。∴所有交点坐标为（4kπ+）或（4kπ+）（k∈Z）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。题型4：三角函数的定

7、义域、值域例5．（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。点

8、评：求三角