663-近似方法：微扰与变分微扰方法：与时间无关(定态微扰) 与时间有

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1、*近似方法：微扰与变分微扰方法：与时间无关（定态微扰）与时间有关（量子跃迁）定态微扰：简并、非简并第五章微扰理论一、适用条件求解定态薛定谔方程比较复杂，无法直接求解，若可将其分成两部分§5.1非简并的定态微扰的本征值和本征函数可以求出，则方程（1）就可以通过逐步近似的方法求解。二、微扰论的基本方程设的本征值和本征函数已经全部求出：的本征方程（1）式变为：设某一个能级是非简并的，只有一个与它对应，加上“微扰”后，将待求的写成的线性迭加：将（5）式代入（4）式，得到由于，的主要成分显然就是，因此（5）式中。这个判断是使用逐步近似法的基础。用某一个左乘（6）式并积分得到用左

2、乘（6）式并积分就得到(8)和(9)式是严格的，它们和（6）式等价。(8)、(9)式中是“表象”中的矩阵元在(8)、(9)式中略去所有与有关的项，就得到零级近似：(8)式中略去最小的第三项即项,即得的一级近似(9)式中略去最小的项，即项，并在右端用作为的近似，就得到的一级近似将(12)式，并代入(8)式，即得的二级近似将(12)式，并代入(5)式，即得的一级近似（13)、(14)式就是非简并态微扰论的主要结果。(13)式右端各项通常称为的零级近似，一级修正和二级修正:(14)式中项称为的一级修正(13)、(14)式成立的条件（逐步近似法适用的条件）为如果紧靠着存在别的

3、，即使，微扰论也不适用。试用微扰论求能级的变化，并与精确解比较。例带电量为e的一维谐振子，受到恒定弱电场的微扰作用解1的本征值和本征函数是能级的一级修正就是在中的平均值为求能级的二级修正和波函数的一级修正，需要计算可利用（一）简并微扰理论（二）讨论§5.2简并微扰理论假设En(0)是简并的，那末属于H(0)的本征值En(0)有k个归一化本征函数：

4、n1,

5、n2,......,

6、nkn?

7、n?=???满足本征方程：于是我们就不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的0级近似。所以在简并情况下，首先要解决的问题是如何选取0级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函

8、数的各级修正。0级近似波函数肯定应从这k个

9、n?中挑选，而它应满足上节按?幂次分类得到的方程：共轭方程（一）简并微扰理论根据这个条件，我们选取0级近似波函数

10、ψn(0)的最好方法是将其表示成k个

11、n?的线性组合，因为反正0级近似波函数要在

12、n?(?=1,2,...,k)中挑选。

13、ψn(0)已是正交归一化系数c?由?一次幂方程定出左乘n?

14、得：得：上式是以展开系数c?为未知数的齐次线性方程组，它有不含为零解的条件是系数行列式为零，即解此久期方程可得能量的一级修正En(1)的k个根：En?(1),?=1,2,...,k.因为En?=En(0)+E(1)n?所以，若这k个根

15、都不相等，那末一级微扰就可以将k度简并完全消除；若En?(1)有几个重根，则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。为了确定能量En?所对应的0级近似波函数，可以把E(1)n?之值代入线性方程组从而解得一组c?(?=1,2,...,k.)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的0级近似波函数。为了能表示出c?是对应与第?个能量一级修正En?(1)的一组系数，我们在其上加上角标?而改写成c??。这样一来，线性方程组就改写成：（1）新0级波函数的正交归一性1.正交性取复共厄改记求和指标，????，???（二）讨论对应于En?=En(0)+

16、En?(1)和En?=En(0)+En?(1)的0级近似本征函数分别为：由(3)式上式表明，新0级近似波函数满足正交条件。2.归一性对于同一能量，即角标?=?，则上式变为：Eq.(3)和Eq.(4)合记之为：由于新0级近似波函数应满足归一化条件，（2）在新0级近似波函数

17、ψn?(0)为基矢的k维子空间中，H’从而H的矩阵形式是对角化的。证：上式最后一步利用了Eq.(5)关系式。所以H’在新0级近似波函数为基矢的表象中是对角化的。[证毕]因为H0在自身表象中是对角化的，所以在新0级近似波函数为基矢的表象中也是对角化的。当?=?时，上式给出如下关系式：也就是说，能量一级修

18、正是H’在新0级波函数中的平均值。这一结论也是预料之中的事。求解简并微扰问题，从本质上讲就是寻找一么正变换矩阵S，使H’从而H对角化。求解久期方程和线性方程组就是寻找这一么正变换矩阵的方法。5.3氢原子一级Stark效应（1）Stark效应氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为Stark效应。我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n个能级有n2度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。（2）外电场下氢原子Hamilton量取外电场沿z正向。通常外电