线性代数 第二章总结

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1、第二章矩阵及其运算矩阵是线性代数主要研究对象，是求解线性方程组的一个有力工具，它在自然科学、工程技术及经济问题等各个领域中都有广泛的应用。本章的教学基本要求：理解矩阵概念并掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件，了解求逆矩阵的伴随矩阵法；熟练掌握利用逆矩阵求解矩阵方程的方法；了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质；了解分块矩阵及其运算。本章的重点及难点：矩阵的各种运算及其运算规律，尤其矩阵的乘法；逆矩阵存在的条件，利用伴随矩阵法会求逆矩阵，主要是二阶和特殊的三阶矩阵的逆矩阵；用逆矩阵求解矩阵方程。§

2、1矩阵的概念一、内容提要1．矩阵定义由个数排成的m行n列的矩形数表称为一个m×n矩阵，其中表示位于数表中第i行第j列的数（；）。又称为矩阵的元素。规定，1×1矩阵。矩阵也可表示为或。如果不需要表示出矩阵的元素，通常用大写英文字母表示矩阵，如：A，B，...，或，，...。元素都是实数的矩阵称为实矩阵；有复数元素的矩阵称为复矩阵。若两个矩阵的行数、列数分别相等，则称它们是同型矩阵。矩阵A=，B=是同型矩阵。若它们的对应元素相等，即那么称矩阵A与矩阵B相等，记作：A=B。2．特殊矩阵零矩阵所有元素都为零的矩阵称为零矩阵。如一个的零矩阵为49记为。在

3、不会引起混淆的情形下，也可记为。行矩阵仅有一行的矩阵称为行矩阵(也称为行向量)，如A=也记为A=列矩阵仅有一列的矩阵称为列矩阵(也称为列向量)，如A=方阵行数和列数相同的矩阵称为方阵，例如A=称为nn方阵，常称为n阶方阵或n阶矩阵，简记为A=。在n阶方阵中，过，，元素的直线，称为方阵的主对角线，主对角线上的元素称为主对角元。对角矩阵主对角元以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。如。矩阵Λ中未写出来的元素为0。单位矩阵主对角元全为1的对角矩阵称为单位矩阵。简记为E或I。有时为了表明矩阵的阶数，将阶数写在下标处，如表示n阶单位矩阵。49数量矩阵主对角

4、元全相等的对角矩阵称为数量矩阵。如。三角矩阵主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵。如为n阶上三角矩阵；为n阶下三角矩阵。二、例题分析矩阵理论在自然科学、工程技术及经济领域中，都有广泛的应用。下面举几个例子，说明矩阵概念的实际背景。例1在国民经济的数学问题中，常常用到矩阵。例如，假设要将某种物资从m个产地C1，C2，...，Cm运往n个销地B1，B2，...，Bn。如果用表示由产地Ci（）运到销地Bj（）的数量，那么这个问题的调运方案就可用一个矩阵表示：。例2在解析几何中矩阵是研究坐标变换的有力工具。例如，平面直角坐标系的旋转

5、变换为其中为x轴与x′轴的交角。显然，新旧坐标之间的关系可以通过公式中系数所构成的矩阵49完全确定，它称为上述坐标变换的矩阵。例3n个变量与m个变量之间的关系表示一个从变量到变量的线性变换，其中为常数。线性变换（2.2）的系数构成矩阵A=三、小结矩阵的实质：矩阵是由m行n列元素组成的一个数表。矩阵与行列式在形式上有些类似，但在意义上完全不同。一个n阶行列式是由n行n列元素表示的一个算式，计算结果是一个数；而矩阵是由m行n列元素表示的一个数表，这里可以有的情况。§2矩阵的运算一、内容提要1．矩阵的加法设A=与B=是两个同型矩阵，那么矩阵A与B的和

6、记作A+B，规定为矩阵的加法满足下面的运算规律：（1）交换律：；（2）结合律：。A的负矩阵为–A，即2．矩阵的减法。3．数乘矩阵法数与矩阵的乘积记作或A,规定为49。数乘运算有下面的运算规律：（1）；（2）;（3）(A+B)=A+B。4．矩阵与矩阵的乘法设A=，B=，那么规定A与B的乘积是一个矩阵C=。其中，。并把此乘积记作C=AB。矩阵乘法满足下列运算规律（假设下列运算都是可行的）：（1）结合律：;（2）左分配律：；右分配律：；（3）；（）（4）设A是矩阵，B是矩阵，则,,。n阶方阵的幂：设A是n阶方阵，规定。其中，k，l为正整数。5．矩阵的

7、转置把矩阵A的行换成同序数的列得到新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作。矩阵的转置满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：（1）；（2）；（3）；（4）。推广到s个矩阵乘积为：。6．方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做A的行列式，记作。由方阵A确定的行列式满足下列运算规律（设A、B为n阶方阵，为数）：（1）；49（2）；（3）。7．共轭矩阵当A=为复矩阵时，用表示的共轭复数，记。称为A的共轭矩阵。共轭矩阵满足下列运算规律（设A，B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）：（1）；（2）；（3）。8．常用结论（1）n阶方阵A

8、满足，，则称A为对称矩阵；（2）n阶方阵A满足，，则称A为反对称矩阵。n阶矩阵A为对称矩阵的充分必要条件是。n阶矩阵A为反对称矩阵的充分必要条件是。当