“有限元法基础及应用”补充讲义(一)-ok-m

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1、“有限元法基础及应用”补充讲义一、引子——弹簧单元与弹簧系统目标：掌握离散结构直接刚度法分析的原理和形式。了解有限元位移法列式的形式和基本概念。1、弹簧单元分析弹簧的物理特性：弹簧单元描述：图1-1图1-22个节点：节点位移：节点力：单元自由度：2已知弹簧力——位移关系：弹簧刚度—弹簧伸长量弹簧力，拉伸为正（1-1）考虑弹簧变形平衡时的条件和弹簧物理特性，得到下列方程：（1-2）写成矩阵形式：（1-3）写成矩阵符号形式：——单元节点位移列阵——弹簧单元的刚度矩阵式（1-2）、（1-3）为弹簧单元的刚度方程，反映了单元特性：节点力与节点位移

2、之间的关系。式中：21——单元节点力列阵（注意：单元节点力是节点对单元的作用力。）弹簧单元的刚度矩阵为：弹簧单元刚度方程讨论：1）有何特点？对称、奇异、主对角元素恒正。2）中元素代表什么含义？刚度系数大小等于弹簧刚度；每列元素代表一端固定、另一端产生单位位移时加在弹簧单元上的节点力。3）上面单元刚度方程可以求解吗？为什么？不可以。刚度方程仅仅表征一个典型单元的弹性特性，单元水平上无法确定单元节点位移。只有把系统中所有单元特性集成后，在系统水平上才可能求出所有未知位移和反力。单元水平上，若已知单元的节点位移，可由刚度方程求出所有单元节点力分

3、量。若节点力已知，单元节点位移不能确定，单元可作刚体运动（小位移）。这也是单元刚度矩阵奇异性的物理解释。2、弹簧系统整体分析原理以右图的一个弹簧系统为例，研究如何由单元特性集成系统特性并建立对系统进行求解的控制方程。图1-3由前面得到的弹簧单元的刚度方程公式（1-2），分别写出2个弹簧单元的特性方程如下：（1-4）单元1（1-5）单元221（注：右端节点力分量的下标1，2为单元节点的局部编号，上标是单元号）下面按两个方法完成系统特性的装配和控制方程的建立。并在特定条件下求解。1）由节点平衡方程导出：系统处于平衡时，考虑各节点（节点1，2，

4、3）的平衡条件：（1-6）节点受到的外载荷与节点受到与其连接的所有单元对其作用力（单元节点力的反作用力）之和等于零。因此有下列（节点）平衡方程（组）：（1-7）把单元特性（1-4），（1-5）代入（1-6）得到：写成矩阵形式：（1-8）（1-9）矩阵符号形式：式（1-8），（1-9）就是系统平衡方程，该方程建立了离散系统的外载荷与节点位移之间的关系，是求解节点位移的控制方程。——弹簧系统结构总刚度矩阵——系统节点位移列阵——系统节点载荷列阵讨论：（1）K有那些特点和性质？（2）上述方程能求解吗？212)由单元刚度方程叠加导出将单元1，2的

5、刚度方程（1-4），（1-5）进行增广（扩大到系统规模）：（1-10）（1-11）上述两个矩阵方程叠加，得：（1-12）上式中代入节点力平衡关系（1-6），就得到与（1-8）相同的节点平衡方程。上述两种方法都必须考虑：①单元特性集成；②离散结构的节点上外载荷（系统外力）与节点力（系统内力）的平衡。因此方程（1-8）的本质是节点上力平衡关系，左边是由节点位移表示的（总）节点力，右边是节点所受外载荷。3）给定载荷和约束条件下的求解（1-13）设边界条件为：则节点平衡方程（1-8）变化为：（1-14）该方程组展开后分为2个部分：第2，3个方程变

6、化为：（1-15）21（1-16）第1个方程变化为：先后解方程（1-15）、（1-16）得到：（1-17）（1-18）至此解出了系统的未知位移和未知反力，并可以进一步求弹簧力。3、例题图1-4所示一个3个弹簧的系统。图1-4求：（a）系统总刚度矩阵（b）节点2，3的位移（c）节点1、4的反力（d）弹簧2中的力解：（a）:写出各单元刚度矩阵：应用叠加法直接得到系统总刚度矩阵：21或：该矩阵具有如下特点：对称、奇异、稀疏、非零元素沿主对角线呈带状分布。（b）:参考前面做法（（1-8）式）及已求出的总刚度矩阵，写出系统节点平衡方程：（1-19）

7、考虑到位移边界条件：则平衡方程组（1-19）第2，3方程化为：求解上式得：（c）：由（1-19）的方程1，4得：（d）：21（拉力）弹簧2内力为：4、练习题对图示弹簧系统，试用叠加法求其总刚度矩阵。并根据节点平衡方程的含义，尝试由各单元刚度矩阵的元素直接写出总刚度矩阵。图1-5二、杆单元目标：通过杆单元特性方程的建立，初步掌握有限元法单元分析的过程和原理。了解杆系结构分析的原理。1、等截面杆单元及其刚度矩阵研究2节点等截面杆单元。L—杆长A—截面积E—弹性模量——杆单元位移——杆单元应变——杆单元应力单元的力学量和基本关系如下：（2-1）

8、应变—位移关系：21（2-2）应力—应变关系：单元节点位移：单元节点力：下面研究杆单元的单元特性。1）直接法导出杆单元特性（2-3）杆单元伸长量：应用材料力学基本知识对单元进行力学分析。（2-