有限元法讲义

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1、有限单元法图3-1简单的梁和桁架结构现考虑对图3-1中结构的分析。在位移分析法中我们是把该结构看成是两个梁单元、一个桁架单元和一个弹簧单元的分割体，第一步是计算对应于结构总体自由度的单元刚度矩阵。在这种情况下，对于梁单元、弹簧单元和桁架单元，我们分别有；；；；28整个分割体的刚度矩阵可以由各个单元刚度矩阵通过直接刚度法有效地求得。在这个过程中，结构刚度矩阵K是通过各单元刚度矩阵直接相加而算得，即而系统的平衡方程为式中是系统的总体位移向量，R是作用在结构总体位移方向上的外力向量：，在求解结构的位移之前，我们需要利用边界条件和。这意味着我们可以只考虑含有五个未知位移的五

2、个方程，即，式中是从K中删去第一和第七行以及第一和第七列后得到的，而，上面的讨论说明了有限元法的一些重要特点．基本的处理过程是先把整个结构看成为各个结构单元的分割体，计算对应于结构分割体总体自由度的各单元刚度矩阵，然后通过将各单元刚度矩阵叠加的方法形成结构刚度矩阵，求解单元分割体的平衡方程组就得到单元的位移，然后利用它们来计算单元的应力。虽然原来并不认为用位移法分析梁和衍架单元的分割体就是有限元分析，但以后我们将会看到，实际上我们可以把桁架和梁单元看作两种特殊的有限元。在这个定义上，上述的分析就是梁和衍架结构的有限元分析。而用另一种方法，我们可不通过求解平衡微分方程

3、，而是用虚功原理计算其刚度系数。导出表示弹性体平衡的相应方程的一个等效方法是利用虚位移原理，这个原理表示物体处于平衡的要求是：对于强加在该物体上的任意相容的微小的虚位移，总的内虚功应等于总的外虚功，即（3.1）式中，，（3.2）是作用在弹性体上的体力、表面力和集中力。从未受荷载时的位置开始的弹性体的位移以表示，其中（3.3）28相应于的应变为（3.4）相应的应力为（3.5）和表示虚应变和虚位移。分析的基本步骤和上述桁架和梁结构的分析步骤一样。图3-2有限元平面分析该问题的求解可按下列的步骤进行：(1)假设每一单元节点i的两个未知位移为和，而和用简单多项式函数来表示，

4、其中的末知参数是单元节点位移。对于图3-3中的单元，未知位移是。(2)利用虚位移原理计算每个单元对应于节点自由度的刚度矩阵。(3)将各单元刚度矩阵叠加得到结构的刚度矩阵，利用边界条件解平衡方程组求出节点位移，然后算出单元的应力。图3-3局部坐标系统中典型的二维四节点有限元283.1利用虚位移原理建立有限元法的公式（一）平面应力分析的位移和应变－位移的变换矩阵为了便于说明，再考虑一个平面内荷载作用下悬臂板分析的例子(图3-2)。该结构是处于平面应力的状态，因此可以将平桓理想化为二维平面应力有限元的分割体，如图3-2所示。所需要的基本矩阵是对于分割体的每个单元的位移变换

5、矩阵和应变-位移变换矩阵。为了推导这些矩阵，我们着重研究如图3-3所示的典型单元，并假设局部单元位移和是以局部坐标变量和的多项式的形式给出：（3.6）（3.7）未知系数也称为广义坐标，它们可以用未知的单元节点位移和来表示。定义（3.8）我们可以把式（3.6）和（3.7）写成矩阵形式（3.9）其中（3.10）（3.11）（3.12）对于单元的各个节点，方程(3.9)都一定是成立的。因此，对于所有四个节点，利用式(3.9)，我们有（3.13）其中（3.14）28因而广义坐标是（3.15）其中（3.16）将式（3.9）代入，可以得到（3.17）其中（3.18）我们用虚功原

6、理来得到单元刚度矩阵。若是平面应力状态，单元应变为（3.19）其中（3.20）利用式（3.17），我们得（3.21）式中（3.22）（3.23）单元应力是（3.24）假定是各向同性的线弹性材料，对于平面应力状态，有（3.25）其中（3.26）28而和是材料的弹性常数，为杨氏模量，为泊松比。要进行实际的有限元分析，就需要求出式(3.18)和式(3.22)中分别给出的分割体中每个单元的位移和应变-位移的变换矩阵，而算出每个单元的矩阵A，才能求出这些矩阵。至今，我们所考虑的是通过单元局部节点位移来决定的每个有限元的位移。然而，在推导整个单元分割体的平衡方程的时候，通过整个

7、单元分割体节点位移来表示单元的位移是方便的，即对单元m可写出（3.27）而对于单元应变和应力类似地可写成（3.28）（3.29）式(3.27)至式(3.29)中的量与向量有关，而存储整个有限元分割体的总体坐标系下的全部节点位移。作为一个例子，考虑，即确定图3.2中悬臂板理想化后的单元2上位移矩阵。利用图3.2给出的整个单元分割体和图3.3给出的单元的节点位移的定义，我们有（3.30）式中是式（3.17）中考虑单元2时对应的单元。3.1建立有限元步骤归纳有限元法与结构力学中的位移法相似。首先将连续体转化为离散化结构，即将连续体代之以仅在节点互相连结的许多单元组成的