有限元方法讲义

《有限元方法讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第1讲抛物问题有限元方法1、椭圆问题有限元方法考虑椭圆问题边值问题：（1）问题（1）的变分形式：求使满足（2）的性质，广义解的正则性结果。区域的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。剖分区域上分片次多项式构成的有限元空间。的逼近性质，逆性质：这里，为的插值逼近。问题（2）的有限元近似：求使满足（3）（3）的解唯一存在，且满足。（3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：（4）刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。模误差分析：由（2）－（3）可得31（5）由（5）可首先得到则得到（6）

2、－模误差分析设满足用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到再利用模误差估计结果，得到（7）最优阶误差估计和超收敛估计概念。当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得（8）利用（7），类似分析可得（9）2、抛物问题半离散有限元方法考虑抛物型方程初边值问题：（10）（10）的变分形式：求使满足（11）31（11）的半离散有限元近似：求使满足（12）令，代入（12），依次取可导出常微分方程组：（13）其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。。求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。定理1.问

3、题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计：（14）证明：在（12）中取得到整理为（注意是正定的）对此式积分，证毕。误差分析。引进解的椭圆投影逼近：满足（15）根据椭圆问题的有限元结果可知（16）分解误差：的估计由（16）式给出，只须估计。由（11），（12）和（15）知，满足取，类似稳定性论证可得31（17）可取为的投影，插值逼近等。由（17）式，三角不等式和（16），得到（18）3、抛物问题全离散有限元近似剖分时间区间：。引进差分算子：规定，当为连续函数时，，则有由此得到（19）（20）定义问题（11）的全离

4、散向后Euler有限元近似：求，使满足（21）将代入（21）可导出全离散方程组（22）其中。系数矩阵是对称正定的。可逐层求解。误差分析。令。为31的有限元椭圆投影，只须估计。由方程（11）知满足（23）。则利用，从（23）和（21）得到满足取得到或写为写对上式求和且利用（19）式得利用椭圆投影的逼近性质得到再利用三角不等式即得全离散误差估计（24）全离散向后Euler格式关于时间方向只有一阶精度。二阶精度的Crank-Nicolson格式：求使满足（25）其中。方程（25）的矩阵方程形式为31处，从方程（11

5、）知，精确解满足。则椭圆投影满足分解误差：。从（25）式得到（26）在（26）中取，注意（27）则在（26）中取得到求和，且利用（20），（27）和椭圆投影的逼近性质，得到再利用三角不等式，得Crank-Nicolson格式的误差估计：（28）31第2讲有限体积元方法一、椭圆问题考虑椭圆边值问题：设为凸多边形区域。当时，唯一存在，且满足。1剖分与对偶剖分设是的一个正则三角剖分，是所有剖分节点集合，是内节点集合，对每一个做包含的有限体积（见图1）其中是单元的重心，是单元边的中点，所有有限体积单元构成区域的一个剖

6、分，称为的对偶剖分，记为，则图12有限体积元空间设是上分片线性多项式构成的有限元空间，在对偶剖分上，定义分片常数的有限体积元空间：设是分片线性基函数，是的特征函数，则313插值算子定义插值算子：显然因此，对任意存在唯一使，即4双线性形式由，则定义与相应双线性形式：5问题的有限体积元近似求使（1）由于，则（1）等价于则有误差方程(2)6插值算子的性质i)ii)(3)iii)(4)守恒性质:在(1)中取,得到7解的存在唯一性31引理1设，则证明：利用Green公式和（3）式，注意为常数，得到定理1有限体积元解唯一

7、存在，且满足证明：由引理1，方程（1）和（4）式知满足3－模误差分析定理2和满足误差估计证明：利用引理1得到利用柯西不等式，定理2得证。4－模误差分析定理3和满足误差估计：31证明：设满足则利用引理1和（3）式得其中，是的分片常数逼近。则利用逼近性质得到证毕。一、抛物问题（5）其中为凸多边形区域。设区域剖分和对偶剖分，有限体积元空间和如椭圆问题情形。抛物问题（5）的有限体积元近似为：求使满足（6）其中双线性形式如椭圆问题。引理2下述结论成立i)ii)是上与等价的范数。由引理2可知，导出的质量矩阵是对称正定的，

8、则常微分方程组（6）唯一可解。由引理1也知道由31导出的刚度矩阵也是对称正定的，这可保证全离散格式的唯一可解。误差分析设为问题（6）的解，引进的有限体积元投影：满足（7）对（7）关于求导得到（8）则利用椭圆问题有限体积元的结论可得（注意）（9）（10）分解误差：的估计已知，只须估计。由方程（5）－（7）可知，满足取，利用引理1－2得到由（4）式和引理2知，则从上式得到或则利用三角不等式和（10）式得