有限元分析讲义

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1、§1.5.31.等参元概念在平面中，矩形单元是一种比较简单的单元。由于采用了双线性函数单元内的应力是线性变化的，局部母单元与三角元相比，更好地反映了单元内实际应力的变化状况。但矩形单元不能适应曲线边界和非正交的直线边界（如图）。X如对任意四边形，采用矩形单元的双线性位移函数，则沿边界上（单元的矢量边界）位移不再是线性变化的，这样其位移的连续性将得不到保证。为此，我们可采川这样的坐标变换法：将原來的任意四边形单元（子单元）变换为一个正方形单元（母单元）。显然，母单元是正方形，便可以应用矩形单元的双线性位移函数。沿其边界也就线性化了，从而位移协调也就得到了保证。这样，我们取

2、子单元来自结构，它代表了真实结构的儿何特征，然后通过坐标变换转换到母单元上去，进行一系列有限元运算。它可以保证各单元公共边界上的位移连续性（这一条是有限元收敛于真实结果的最重要条件）。从而保证了计算结果的正确性。进行坐标变换当然离不开插值函数，取插值函数当然与沿边界上所取节点数目有关。另外，我们在母单元进行位移插值当然也需要有位移插值函数，它与沿边界上所取节点数n有关。若两种插值函数的取得相同，这样它们有相同的插值函数的形态（也就是有相同的节点数目），这种单元称为“等参元”。若坐标变换的形状函数高于位移形状函数的次数（即半.标变换所取节点数多于位移插值所耑节点数），称为

3、“超参元”，这种单元除了一些特殊情况外，一般是不适用的，因这时单元可能是曲线边界，而单元的位移函数是线性的，其位移s然不能适应边界的变化情况。单元会出现不连续位移。反之，若坐标变换的形状函数低于位移形状函数的次数，则称为“亚参元”，此时笮元的边界可能为直线，而位移均为曲线，但在边界上可能只有两个节点，故位移要降阶为线性，能够保证位移的连续性，所以是可用的。2.曲线坐标变换（参数坐标变换）假没两个坐标系存在—映射关系，即'可以表示为&的函数，Xi=Z（C2），且此映射反之也存在，即（产以〜x2）{f:^x^XER2},一般写成d（x）。局部系中的一条直线映射为总体系中的

4、一条曲线，故X与f中的线元可以由微分式联系：G’求和）dX=JdC/为变换的雅可比Jacobia矩阵若该运算存在，则定义.•dXj=^-Ldx：’ax；3x,3a：,dx2dx2-!dX（求和）dx；为使任何变换，成为可逆变换，JZL点在感兴趣的某区域（R）中对应，其充分条件是：①是R中连续一阶偏导的，f的单值连续函数；②在R中任意一点，＜/为有限值（即一^/0）odet⑺这两个条件还只表针变换是允许的。由于我们还要求在变换过程中，右手系仍然保持右手系，故变换还许要求是正则的，这就要求（det（7））的伉为正。a.微体积元的变换：dxj=eld^2即，么在Z系屮有单位变

5、化，在X系屮的变化同理:dx2=e2dxy=e3=dV,dVx=(e2xe3)-e}dx}9x,dxt3x?Avdx2dx23x3dx3dx3dV,Jvd^d^d^:咖，又2，%3）轮換求导对于二维情况，同理可得：Jp,<,，“严听咖，x2）

6、=d'i+d2j+d3k代入如~与~得表达式，可得:Js=

7、必

8、=yjdy+dy+djd'3x,dx3dx}dx3、wA)dx{dx23x,3x?^3^2jd,dx23x3dx3dx2a.线元变换:如沿6轴变化则在X系屮得变换dlx

9、=J'd$'<=dl=dx2+dx3J="dx^2dx21.等参元得坐标变换（以网节点等参元为例介绍）单元边长为2得正方形，局部坐标系含7/取在形心处，节点编号的转14如图所示（这里的节点左边取为±1）。子单元上其局部坐标系含7/也取在形心处，节点编号及转向的取法与母单元相同。在这里的它的节点坐标也是己知的。如前所述，为实现上述坐标变换，我们取矩形单元的位移函数作为坐标变换的插值函数,即:'=-《X1-")/V2=4(1+3(1-77)^=l(l+^)(l4-Z7)4yv4=j(i-^)(i+z7)4综合起來，N记，=+权)(1+研)i=1，2,3,4•I1234-1

10、111川-1-111这吋，坐标变换关系式为44x=YjNixiy=^Niyi写成矩阵形式:i=/=1’2x3>S义4上式即为母单元（局部系）上一点变化成子单元（总体系）上一点Cr，W的转换关系。经过上述变换后，子单元的边界是线性的，两个子元的边界是相等的。1.位移函数：经上述变换后，我们可以采川矩形单元的位移函数，即N'0N20N,07V40on}on2on3o;v丄”)又2Ax4(3)(X,v)，这是四边形单元但在这里需要特别强凋：/V,•匕7）是么7的函数，而不是x，y的函数于一般矩形单元的根本区别。现在来分析唯一函数的