求数列通项公式的各种方法(非常全)

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1、龙文教育-------您值得信赖的专业化个性化辅导学校龙文教育个性化辅导授课教案教师：学生：时间：年月日段课题：数列的通项公式教学目标：掌握数列通项公式的求法教学重难点：构造等差等比数列一、教学内容：一、利用例1．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数，.求数列的通项公式；解：……2分当当……4分练习：1.已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得1

2、0an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)当a1=3时，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－32．设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：解：（I），解得：把您的孩子当成我们的孩子所以数列是公比为4的等比数列所以：得：（其中n为正整数）（II）所以：二、构造等差数列例2、已知数列满足，，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公

3、差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。例3．已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以三、累加法例4、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则把您的孩子当成我们的孩子所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例5、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例6、已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以

4、，得，则，故把您的孩子当成我们的孩子因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。四、累乘法例7、已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。把您的孩子当成我们的孩子例8、已知数列满足，求的通项公式。解：因为①所以②用②式－①式得则故所以③由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。五.构造等比数列或例9、已知数列满足求数列的通项公式

5、；解：是以为首项，2为公比的等比数列。即　把您的孩子当成我们的孩子练习.已知数列满足，且。（1）求；（2）求数列的通项公式。解：（1）（2）∴六、待定系数法例10、已知数列满足，求数列的通项公式。解：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例11已知数列满足，求数列的通项公式。解：设⑥将代入⑥式，得把您的孩子当成我们的孩子整理得。令，则，代入⑥式得⑦由及⑦式，得，则，故数列是以为首项，以3为

6、公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例12已知数列满足，求数列的通项公式。解：设⑧将代入⑧式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入⑧式，得⑨把您的孩子当成我们的孩子由及⑨式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例13、构造数列，使其为等比数列。例：已知数列满足，，求的通项公式。解：设，即则与比较后的得.或.当时，，是以为首项，2为公比的等比数列。(

7、).经验证，n=1时适合上式，.同理，当时，也得到.综上知.七、对数变换法例14、已知数列满足，，求数列的通项公式。把您的孩子当成我们的孩子解：因为，所以。在式两边取常用对数得⑩设将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此把您的孩子当成我们的孩子则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项