二面角平面角分析论文

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1、二面角平面角分析论文　　二面角的平面角的特征　　α、β是由出发的两个半平面,O是l上任意一点，OCα，且OC⊥l；CDβ，且OD⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。　　它有如下列特征：　　过棱上任意一点，其平面角是唯一的；　　其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；　　另外，若在OC上任取上一点A，作AB⊥OD于B,则由特征知AB⊥β.通过l、OA、OB、AB，之间的关系，便得到另一特征；　　：体现出三垂线定理的环境背景。　　2二面角的平面角的特征剖析　　由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可

2、化归为“定点”或“定线”的问题。　　特征表明：其平面角的定位可先在棱上取一“点”，但这点必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。　　特征指出：如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ与α、β的交线，则交线所成的角即为α-l-β的平面角，：　　由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。　　特征显示：如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，由Ｂ作OB⊥l于Ｏ，连OA，由三垂线定理可知OA⊥l；或由Ａ作OA⊥l于Ｏ，连OB。由三垂线逆定理可知OB⊥l。此时，∠AOB即为二面角α-l-β的平面角。　　由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段

3、”．　　以上三个特征提供的思路在解决具体问题时各具特色，其目标是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而至．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。　　3二面角的平面角的定位分析　　［例1］：已知Ｅ是矩形ABCD边CD的中点，且，CD=２，BC=１，现沿AE将△DAE折起至△D′AE，使得D′到B、C两点的距离相等，求二面角D′-BC-A的大小。　　解析：取AE中点P，BC中点Q．则可得PQ⊥BC，又由D′B=D′C，得D′Q⊥BC，　　∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。　　经计算得：∠D′QP＝2

4、3　　找“点”，由定义确定二面角的平面角。　　［例２］：矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线AC把△ABC折起，使点B在平面ADC内的射影B′恰好落在AD上，求二面角B-AC-D的大小。　　解析：这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。　　在平面图形中过Ｂ作BE⊥AC交AC于O、交AD于E，则折叠后OB、OE与AC的垂直关系不变．但OB与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱AC垂直。由特征知，面BOE与面BAC、面DAC的交线OB与OE所成的角∠BOE，即为所求二面角的平面角。　　另外，点B在面

5、DAC上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在AD上,所以E点就是B′点，这样的定位给下面的定量提供了便捷条件。　　经计算：OB=AB·BCAC=3×45=125，AO=AB2AC=95，OE=AO·CDAD=2720，　　在Rt△BEO中，设∠BOE＝θ，则cosθ=OEOB=916，　　∵0°＜θ＜180°，∴θ=arccos916，　　即所求二面角B-AC-D为arccos916，　　通过对［例2］的定性分析、定位作图和定量计算，由特征从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，依题目条件，在棱上选取一适当的垂线段

6、，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相呼映，不仅便于定性、定位，更利于定量。　　由“垂线段”定位二面角的平面角。　　［例3］：已知二面角α-a-β为，PA⊥α于A，PB⊥β于B，且PA＝８cm，PB＝10cm．求Ｐ点到a的距离。　　解析：过PA、PB作平面γ，分别与α、β交于AO、BO，　　由PA⊥α，aα，知PA⊥a，又由PB⊥β，aβ，知PB⊥a，因此，a⊥平面γ，　　∵AO，BO，∴a⊥AO，a⊥BO，　　∴∠AOB为二面角α-a-β的平面角，即∠AOB＝120°，　　连PO，由PO，得a⊥PO．∴PO的长为P点到a的距离。　　经计算

7、：AO＝43，PO＝PA2+AO2=82+2=47．　　由棱的“垂面”定位二面角的平面角。　　［例４］：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，棱长为2，E为BC的中点．求面B′D′E与面BB′C′C所成的二面角的大小。　　解析：面B′D′E与面BB′C′C构成两个二面角，由特征知，这两个二面角的大小必定互补．通过特征,我们只须由C′(或D′)作B′E的垂线交B′E于H，然后连结HD′(或HC′),即得面B′D′E与面BB′C′C所成二面角的平面角∠C′HD′(三垂线定理)。　　经计算可得：Ｈ′C′＝455，在Rt△D′C′Ｈ中，∠Ｄ′ＨＣ′=D′C′H′C′=

8、52，　　故所求的二面角角为arcta