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1、对于二面角的平面角定位分析.freelensionalgeometryofspaceangleisanimportantconcept,inentspacegraphicsquantitativeindicators,therelationshipbetbodimentofgraphics.Three-dimensionalgeometrytosolvetheproblemliesin"determiningthreethings":aqualitativeanalysis→locationmapping→quantitativecalculati
2、on,portantconceptsinone,itesdoetricmeasurement,ingeneral,theirplaneanglepositioningisaprerequisitestepinproblem-solving,sopairsofdihedralangleTheplaneanglepositioningisthekey.【Keyapping;Quantitativecalculation;Point;Verticalsection;Verticalplane1二面角的平面角的特征α、β是由出发的两个半平面,O是l上任意一
3、点,OCα,且OC⊥l;CDβ,且OD⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景,即∠COD是二面角α-l-β的平面角。它有如下列特征:(1)过棱上任意一点,其平面角是唯一的;(2)其平面角所在平面与其两个半平面均垂直;另外,若在OC上任取上一点A,作AB⊥OD于B,则由特征(2)知AB⊥β.通过l、OA、OB、AB,之间的关系,便得到另一特征;(3):体现出三垂线定理(或逆定理)的环境背景。2二面角的平面角的特征剖析由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成,所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线(面)”的问题。特征(1)表明:其平面角的定位可
4、先在棱上取一“点”,但这点必须与问题背景相互沟通,给计算提供方便。特征(2)指出:如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ与α、β的交线,则交线所成的角即为α-l-β的平面角,:由此可见,二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。特征(3)显示:如果二面角α-l-β的两个半平面之一,存在垂线段AB,由B作OB⊥l于O,连OA,由三垂线定理可知OA⊥l;或由A作OA⊥l于O,连OB。由三垂线逆定理可知OB⊥l。此时,∠AOB即为二面角α-l-β的平面角。由此可见,二面角的平面角的定位可以找“垂线段”.以上三个特征提供的思路在解决具体问题时各具特色,其
5、目标是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上,我们只要找到其中一个,另两个就接踵而至.掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。3二面角的平面角的定位分析例1:已知E是矩形ABCD边CD的中点,且,CD=2,BC=1,现沿AE将△DAE折起至△D′AE,使得D′到B、C两点的距离相等,求二面角D′-BC-A的大小。解析:取AE中点P,BC中点Q.则可得PQ⊥BC,又由D′B=D′C,得D′Q⊥BC,∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。经计算得:∠D′QP=23找“点”,由定义确定二面角的平面角。例2:矩形ABCD,AB=3,B
6、C=4,沿对角线AC把△ABC折起,使点B在平面ADC内的射影B′恰好落在AD上,求二面角B-AC-D的大小。解析:这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题,解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。在平面图形中过B作BE⊥AC交AC于O、交AD于E,则折叠后OB、OE与AC的垂直关系不变.但OB与OE此时变成相交两线段并确定一平面,此平面必与棱AC垂直。由特征(2)知,面BOE与面BAC、面DAC的交线OB与OE所成的角∠BOE,即为所求二面角的平面角。另外,点B在面DAC上的射影必在OE所在的直线上,又题设射影落在AD上,所以E点就是B′点
7、,这样的定位给下面的定量提供了便捷条件。经计算:OB=AB·BCAC=3×45=125,AO=AB2AC=95,OE=AO·CDAD=2720,在Rt△BEO中,设∠BOE=θ,则cosθ=OEOB=916,∵0°θ180°,∴θ=arccos916,即所求二面角B-AC-D为arccos916,通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算,由特征(2)从另一角度告诉我们:要确定二面角的平面角,可以把构成二面角的两个半平面“摆平”,依题目条件,在棱上选取一适当的垂线段,即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相呼映,不仅便于定性、定位,更利于定量。
8、由“垂线段”定位二面角的平面角。例3:已知二面角α-a-β为,PA⊥α于A,PB⊥β于B,且PA=8cm,PB=10cm.
