广东省2016届高三数学3月适应性考试理试题（含解析）

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1、2016年适应性考试理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，∴．2．若为纯虚数，其中R，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵为纯虚数，∴，∴．3．设为数列的前项的和，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，经代入选项检验，只有C符合．4．执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的（）A．B．C．D．【答案】C【解析】．5．三角函数的振幅和最小正周期分别是（

2、　　）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．　　　　B．　　　C．　　D．【答案】D【解析】．7．设、是两个命题，若是真命题，那么（）A．是真命题且是假命题　B．是真命题且是真命题　C．是假命题且是真命题D．是假命题且是假命题【答案】D8．从一个边长为的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这个点中任取两个点，则这两点间的距离小于的概率是（）A．　B．　C．D．【答案】A【解析】两点间的距离小于共有3种情况，分别为中心到三个中点的情况

3、，故两点间的距离小于的概率．9．已知平面向量、满足，，则（）A．　B．　C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴．10．的展开式中，常数项是（）A．B．　C．D．【答案】D【解析】，令，解得．∴常数项为．11．已知双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于，则双曲线的方程是（　）A．B．　C．D．【答案】D【解析】∵椭圆的端点为，离心率为，∴双曲线的离心率为，依题意双曲线的实半轴，∴，，故选D．12．如果定义在R上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”．给出下列函数

4、：①；②；③；④，其中“函数”的个数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴在上单调递增．①，，，不符合条件；②，符合条件；③，符合条件；④在单调递减，不符合条件；综上所述，其中“函数”是②③．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数，满足约束条件，若目标函数仅在点取得最小值，则的取值范围是．【答案】【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为,∴，，．∴，解得．14．已知双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则．【答案】【解析】，∴．15．已知数列的各项均为正数，

5、为其前项和，且对任意N，均有、、成等差数列，则．【答案】【解析】∵，，成等差数列，∴当时，又∴当时，，∴，∴，又，∴，∴是等差数列，其公差为1，∵，∴．16．已知函数的定义域R，直线和是曲线的对称轴，且，则．【答案】2【解析】直线和是曲线的对称轴，∴，，∴，∴的周期．∴．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的中，角、、的对边分别为、、，且．（1）的值；（2）若，求的面积．【解析】（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．（2）由，得，

6、由，得．∵，∴，∴．18．（本小题满分12分）某单位共有名员工，他们某年的收入如下表：员工编号12345678910年薪（万元）33．5455．56．577．5850（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取人，此人中年薪收入高于万的人数记为，求的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为万元、万元、万元、万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，，其中、为样本均值．【解析】（1）平均值为

7、10万元，中位数为6万元．（2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；取值为0，1，2．，，，∴的分布列为012∴．（3）设分别表示工作年限及相应年薪，则，，，，，由线性回归方程为．可预测该员工年后的年薪收入为万元．19．（本小题满分12分）如图，在直二面角中，四边形是矩形，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段上的一点，．（1）证明：面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【解析】（1）证明：以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，，，．∵，，∴，，，．∵，∴．∵，∴．∵，，，∴平面

8、．（2）∵，，记与夹角为，则．【方法2】（1）,，．∵，∴．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面．∵平面，∴．∵，∴平面．（2）过作，分别交于，的补角为与所成的角．连接，．，，，，，，．∴异面直线与所成的角的余弦值为．20．（本小题满分12分）已知抛物线：，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点、和点、，线段、的中点分别为、．（1）求面积的最小值；（2）求线段的中点满足的方程．【解析】（1）由题设条件得焦点坐标为，设直线的方程为，．联立，得．（*）．设，，则．设