r上二次型的规范形

《r上二次型的规范形》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、辽东学院教案纸课程：高等代数第5.3.4页§3C、R上二次型的规范形教学目的通过讲授，使学生理解C、R上二次型规范形的概念，基本掌握实二次型的惯性定理．教学内容上节已经指出，数域F上的n元二次型的标准形未必唯一．因此，探索二次型的唯一简化形式是二次型研究的重要课题．本节讨论复数域、实数域上二次型简化的唯一性问题．3.1复二次型的规范形设是一个复系数的二次型．由定理5.2.1，经过一适当的非退化线性替换后，变成标准形．(1)其中r是的秩．由于复数总可以开平方，因而再作一非退化线性替换，(2)(1)就变成．(3)(3)称为复二次型的规范形．显然，规范形完全被原二次型的

2、秩所决定，因此有定理5.3.1任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形；且规范形是唯一的．推论5.3.1任两个复系数的n元二次型可以经过一适当的非退化线性替换把它们中的一个二次型化为另一个二次型的充分且必要条件是它们有相同的规范形．推论5.3.2设A是一个秩为r的复n阶对称矩阵，则A合同于．因此，两个复n辽东学院教案纸课程：高等代数第5.3.4页阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩．3.2惯性定理再来看实数域的情形．设是一实系数的二次型．由定理5.2.1，经过一个非退化线性替换(含适当排列文字的次序)，可使变成标准形，(4)其中，

3、i=1，…，r；r是的秩．于是，再作一非退化线性替换，(5)(4)就变成．(6)(6)称为实二次型的规范形．下面，我们来证明规范形(6)是唯一确定的．定理5.3.2任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形；且规范形是唯一的．证定理的前一半在上面已经证明，下面证其唯一性．设实二次型经过非退化线性替换X=BY化成规范形，又经过非退化线性替换X=CZ也化成规范形现在证明p=q．用反证法．设p>q．由上假设，我们有(7)其中．(8)令，则(8)就是辽东学院教案纸课程：高等代数第5.3.4页．(9)考虑齐次线性方程组，(10)方程组(10)含有n个

4、未知量，但其方程个数q+(n-p)=n-(p-q)q是不对的．因此我们证得了p£q．同理可证q£p，从而p=q．这就证明了规范形的唯一性．这个定理通常称为Sylvester惯性定理．定义1在实二次型的规范形中，正平方项的个数p称为的正惯性指数；负平方项的个数r-p称为的负惯性指数；它们的差p-(r-p)=2p-r称为的符号差．应该指出，虽然

5、实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的．因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数．由惯性定理得到推论5.3.3任意两个实系数的n元二次型可以经过一适当的非退化线性替换把其中的一个二次型化为另一个二次型的充分且必要条件是它们有相同的规范形．辽东学院教案纸课程：高等代数第5.3.4页推论5.3.4秩为r的实n阶对称矩阵A合同于．这里p+q=r．因此，两个秩相同的实n阶对称矩阵合同的充

6、分且必要条件是它们的正、负惯性指数分别相等．当然，同学们会问有理系数二次型的规范形为何？此况颇复杂，系代数数论的论题之一，这里就不可能讨论了．课外作业：P269－270：1；3；4；10．