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1、二次型化为规范型篇一：化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是ax2?2bxy?cy2?f.（1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度?，作转轴（反时针方''??x?xcos??ysin?向转轴）?（2）''??y?xsin??ycos?把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量39的线性替换（2）
2、化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。x二次齐次多项式设P是一数域，一个系数在数域P上的x1,x2,...,的nf(x,x,...n,?x)11a1?x122122a1?xx?2...1n2?a1nxx2?a?x222..2.n?2a?xx2n2nn...nax称为数域P上的一个n元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。设x1,x2,...,xn；y1,y2,...,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系
3、式?x1?c11y1?c12y2?...c1nyn?x?c21y1?c22y2?...c2nyn?2??x3?c31y1?c32y2?...c3nyn（4）39?...........???xn?cn1y2?cn2y2?...cnnyn称为由x1,x2,...,xn到y1,y2,...,yn的一个线性替换，。如果cij?0，那么线性替换（4）就称为非退化的。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另aij=aji，i<j.由于xixj=xjxi，所以f(x1,x2,...,xn)?
4、a11x1?2a12x1x2?...?2a1nx1xn?a22x2?...?2a2nx2xn?...?annxnnn222=?i?1?aj?1ijxixj它的系数排成一个n*n矩阵?a11a12?a1n?a21a22?a2n39A??????an1an2?anm??????它就称为二次型的矩阵。显然它是对称矩阵。?x1?x2令X??????xn??????于是二次型可写成f(x1,x2,...,xn)=X'AX非退化线性替换可以表示成X=CY三、化二次型为标准形的方法之一：配方法定理：数域P上任意二次型都可以经过
5、非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。证明：下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。我们对变量的个数做数学归纳法。2对于n=1，而二次型就是f(x1)?a11x1已经是平方和的形式了。现假定对n-1元二次nnij型，定理的结论成立。再假设f(x1,x2,...,xn)?分三种情况来讨论：39??ai?1j?1xixj（aij=aji）1）aii（i=1，2，…，n）中是少有一个不为零，例如a11?0。这时n21nnnf(x1,x2,...,xn)=a11x+?a1jx1xj+?ai1
6、xix1+?j?2i?2?aijxixji?2j=2n21nn=a11x+2?a1jx1xj+?j?2?aijxixj392i?2j=22=a11??x1????x1??n?j?2nn??n??1?1a11a1jxj?-a11??a1jxj?+???j?2?i?22n?j=2aijxixj=a11这里n?39j?2n??1a11a1jxj?+?i?2?n?j=22bijxixj，n??i?2j=2bijxixj=-a?111n?n???a1jxj?+??j?2?i?2n?j=2aijxixj是一个x2,...,xn的二次
7、型。令39??y1?x1????y2?x2?...........???yn?xnn?j?2?aa1jxj?x1?y1???即?x2?y2?...........???xn?yn-111n?aj?2-111a1jxjnn这是一个非退化线性替换，它使f(x1,x2,...,xn)=a11y+?21?bijxixj。39i?2j=2nn有归纳法假定，对??bijyiyj有非退化线性替换i?2j?2?z2?c22y2?c23y3?...c2nyn??z3?c32y2?c33y3?...c3nyn222能使它变成平方和d2z2?
8、d3z3?...dnzn。??...........?z?cy?cy?...cyn22n33nnn?n于是非退化的线性替换?z1?y1?z?c22y2?c23y3?...c2nyn?2??z3?c32y2?c33y3?...c3nyn?...........???zn?cn2y2?cn3y3?...cnnyn222就
