4.2 二次型的标准型与规范型

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1、第二节标准形的定义正交线性替换法配方法二次型的标准形与规范形初等变换法二次型的规范形一、标准形的定义定义二次型f(x1,x2,…,xn)经过非退化线性替换x=Cy所变成的如下形式(只含平方项)yTBy=d1y12+d2y22+…+dryr2(rn)(4.5)的二次型称为二次型f(x1,x2,…,xn)的标准形.不难看出，二次型(4.5)的矩阵B为n阶对角矩阵.即B=CTAC=diag(d1,d2,…,dr,0,…,0).二、用正交线性替换法化二次型为标准形任一(实)二次型一定可以通过正交线性替换化为标准形.例1用正交线性替换化下列二次型为标准形

2、,并求出所作的正交线性替换:一般地，用正交线性替换将二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx(其中AT=A)化为标准形的步骤如下:Step1求出二次型矩阵A的全部特征值1,2,…,n;Step2求出正交矩阵P，使PTAP=diag(1,2,…,n);Step3作正交线性替换X=PY，其中Y=(x1,x2,…,xn)TRn，则二次型f(x1,x2,…,xn)化为标准形1y12+2y22+…+nyn2.三、用配方法化二次型为标准形例2用配方法把三元二次型化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵.例3用配方法化二次型为标准形.即任

3、何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同.四、用初等变换法化二次型为标准形对A施以一系列行初等变换对施以一系列同种列初等变换PsT…P2TP1TAP1P2…PsP1P2…Ps例4用初等变换法化二次型为标准形.例5用初等变换法化二次型为标准形.五、二次型的规范形标准形唯一吗？标准形不唯一!如果二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx(其中AT=A)通过可逆线性替换可以化为y12+…+yp2–y2p+1–…–yr2(prn)则称上式为该二次型的规范形.规范形中,正项的个数p称为二次型的正惯性指标,负项个数r－p称为二次型的负惯性指标.r是二次型的秩.

4、p–(r–p)=2p–r称为二次型的符号差定理4.4任一二次型f(x1,x2,…,xn)都可以通过可逆线性替换化为规范形，且规范形是唯一的.推论1任一实对称矩阵A都与对角矩阵合同,其中1和－1的个数共有r个,r为二次型的秩.推论2两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们具有相同的正惯指数和秩.