化二次型为标准型的方法

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1、化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是.（1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度，作转轴（反时针方向转轴）（2）把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。设P是一数域

2、，一个系数在数域P上的的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。设；是两组文字，系数在数域P中的一组关系式（4）称为由到的一个线性替换，。如果，那么线性替换（4）就称为非退化的。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另，i

3、式，即标准形。证明：下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。我们对变量的个数做数学归纳法。对于n=1，而二次型就是已经是平方和的形式了。现假定对n-1元二次型，定理的结论成立。再假设（=）分三种情况来讨论：1）（i=1，2，…，n）中是少有一个不为零，例如0。这时=+++=+2+=-+=+，这里=-+是一个的二次型。令即这是一个非退化线性替换，它使=+。有归纳法假定，对有非退化线性替换能使它变成平方和。于是非退化的线性替换就使变成=由归纳法，即证。2）所有都等于0，但至少一（j>1），不是一般性

4、，设。令它是非退化线性替换，且使===这时上式右端是的二次型，且的系数不为0，属于第一种情况，定理成立。3）由于对称性，有这时是n-1元二次型。根据归纳假设，它能用非退化线性替换变成平方和。这样就完成了定理得证明。说明：虽然配方法是基础方法，但在应用化简二次型时比较麻烦。配方法需要通过观察来配方，对初学者来讲，具有一定的盲目性。四、化二次型为标准形方法之二：合同变换法（初等变换法）由上述配方法即得：定理在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵。即对于任意一个对称矩阵A，都可以找到一个可逆矩阵C使成对角形。即任意对称矩阵都

5、可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩阵。典型例题：用合同变换法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。解：的矩阵为A=以下为合同变换过程：因此D=，C=令X=CY，得=五、化二次型为标准形方法之三：正交变换法（实二次型）利用欧式空间的理论，我们得到这样的结论：对于任意一个n级是对称矩阵A，都存在一个n级是正交矩阵T，使成对角形。定理任意一个实二次型（=）都可经过正交的线性替换变成平方和=其中平方项系数就使矩阵A的特征多形式全部的根。因此只要求出特征根，二次型标准形也就求出来了。正交变换更具实用性。如：典型

6、例题：作直角变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲面？解：此方程左端的二项式部分为：=下把它正交替换成标准型：它的矩阵A===（）（）（）,A的全部特征值是2，5，-1.对于特征值2，求出（2E-A）X=0的一个基础解系：,把单位化，得;对于特征值5，求出（5E-A）X=0的一个基础解系：,把单位化，得;对于特征值-1，求出（-E-A）X=0的一个基础解系：,把单位化，得令T=，则T是正交矩阵，且令，则=所以原二次型在新的直角坐标系中的方程为：=1由此看出，这是单叶双曲面。六、化二次型为标准形方法之四：雅可

7、比方法（一）相关定义1、双线性函数定义V是数域P上一个线性空间，f(α,β)是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α、β，根据f都唯一地对应于P中一个数f(α,β)。如果f(α,β)有下列性质：1）f(α,+)=2）其中是V中任意向量，是P中任意数，则称f(α,β)为V上的一个双线性函数。例如：欧式空间V的内积是V上双线性函数。2、对成双线性函数的定义f(α,β)线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α,β都有f（α，β）=f(β,α),则称f(α,β)为对称双线性函数。3、度量矩阵定义设f(α,β)是数域P上

8、n维线性空间V上的一个双线性函数。是V的一组基，则矩阵叫做f(α,β)在下的度量矩阵。结论：双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。（二）化二次型为标准型的雅可比方法设V是数域P上一个n维线性空间，取定V的一组基，令α=,β=，x=,y=,那么给定一个