化二次型为标准型的方法.doc

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1、5.3.3化二次型成标准形的其它方法这一小节供考研生学习，考数学一的学需[1]，考数学三的学[1]、[2]。全小节也可供其他学生参考。正交变换具有一些优良的“几何”特性，例如，若，其中是正交阵，则有。故而在处理几何、统计等领域有关二次型问题时常用正交变换法，但正交变换的计算较为麻烦，故若非必要，就希望能简便地确定一满秩线性变换将二次型化成标准形。[1]拉格朗日法（配方法）例17用配方法确定一满秩线性变换，将二次型化成标准形。解因有的项，故全式先对配完全平方，有再对配完全平方，有若令即则上述满秩线性变换，其中，将该二次型化成标准形如果二次型中没有平方

2、项作为进行配方的基础，需另行处理，见教材179页的例17。[2]规范形在一个二次型的标准形中，当其平方项系数只取1,-1和0时，称为二次型的规范形。例如我们已知在例16中二次方程的二次项部分构成之二次型被正交变换化成了标准形，若进一步令即则二次型成规范形亦即这个二次型可看作是直接被满秩线性变换化成上述规范形。类似地，在例17所得二次型的标准形中，若进一步令即则例给的二次型可看作被满秩线性变换化成规范形仔细观察一下可以发现例16及例17处理的是同一个二次型，用不同的方法（前者用正交变换法即特征值、特征向量法，后者用拉格朗日法即配方法）得到的标准形的不

3、同，但规范形是一样的。可以证明，每个二次型，其规范形是唯一确定的（证略）。