第五讲 二次型标准形规范形化简与定性判别

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1、第五讲二次型标准形规范形化简与定性判别1.二次型的矩阵形式和矩阵的合同2.二次型标准形化简（对称变换法、配方法、正交变换法）3.二次型规范形化简（开方法）4.实二次型定性判别（惯性指数法、特征值法、顺序主子式法、定义法）1二次型的矩阵形式和矩阵的合同二次型的概念定义1含有个变量的二次齐次函数称为元二次型（其中称为平方项，称为混乘项）．二次型的矩阵形式若取，则，于是上式可以写成31其中，，．称为二次型的矩阵形式．由，故为对称矩阵，即．称对称矩阵为该二次型的矩阵．二次型称为对称矩阵的二次型．对称矩阵的秩称为二次

2、型的秩．在这种情况下，二次型与对称矩阵之间通过就建立起一一对应关系，故往往用对称矩阵的性质来讨论二次型的性质．当为复数时,称为复二次型；当为实数时，称为实二次型．例1设，求的矩阵，并求的秩．解对应的对称矩阵是故，所以二次型的秩为3．对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆线性变换即使二次型化成只含有平方项，不含有混乘项的形式，即．31这种只含有平方项的二次型，称为标准二次型，或称为二次型的标准形．对于实二次形，再若标准形的系数只在中选取，则将这种二次型称为规范二次型，即，（其中为二次型的秩）矩阵的合同下面

3、讨论一下合同矩阵．对于二次型而言，经可逆线性变换，将其化成．若记则．由于，故为对称矩阵，故为关于的二次型．关于与的关系，我们给出以下矩阵合同的定义．定义2设，为两个阶方阵，如果存在可逆矩阵，使得，则称矩阵合同于矩阵，或称与为合同矩阵．由以上定义可以看出，二次型的矩阵与经过可逆线性变换得到的二次型的矩阵是合同矩阵．矩阵合同的基本性质：①自反性任意方阵与其自身合同；因为．②对称性若与合同，则与合同；因为若与合同，则存在可逆阵使得则即即与合同．③传递性若与合同，与合同，则合同于；因为得，故与合同．定理1若为对称矩

4、阵，为可逆矩阵，则仍为对称矩阵，且（请读者自己证明）．从而二次型经可逆变换后，其秩不变，但二次型的矩阵变为；在本节最后给出矩阵的等价、相似、合同三种关系的逻辑关系：①经过若干次行列变换得到，则与等价，即与等价存在可逆阵使成立．31②与相似存在可逆阵使．③与合同存在可逆阵使．通过以上三个定义可以看出，相似矩阵一定是等价矩阵，合同矩阵一定是等价矩阵．特别，由上一章实对称矩阵的可正交相似对角化知道：实对称矩阵与其相似的对角矩阵既相似又合同.但等价矩阵不一定是相似矩阵，也不一定是合同矩阵．习题11.写出下列二次型的

5、矩阵，并求其秩.（1）；（2）；（3）4.二次型的秩为，则（）.A．4；B．3；C．2；D．1.5.设均为阶矩阵，且合同，则（）A．相似；B．；C．；D.有相同的特征值.6.下列矩阵（）与矩阵合同.A．；B．；C．；D..312二次型的标准形化简在这一部分中我们将用三种方法证明：任意二次型都可以经过可逆线性变换化成只含有平方项的形式：即化成二次型的标准形．其中为对角矩阵.化二次型为标准形三种方法分别式：①对称变换法，②拉格朗日配方法，③正交变换法．对称变换法化二次型为标准形．设有可逆线性变换,它把二次型化成

6、标准形=，其中为对角矩阵．求可逆矩阵，使对称矩阵化成对角矩阵的过程，称为合同对角化.由于为可逆矩阵，故可以写成若干个初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使，于是有．将上面两式合并起来写成分块矩阵的形式，就有即由此可以看出，对由与竖排而写的型矩阵作相当于右乘矩阵的列初等变换，再对其中所在部分作相当于左乘矩阵的行初等变换，则矩阵所在部分变为对角矩阵，而单位矩阵所在部分就相应的变为所用的可逆矩阵.31对由与竖排而写的型矩阵作一次相当于右乘初等矩阵的列初等变换和一次相应的(相当于左乘矩阵的)行初等变换合起来称为一次对称

7、变换.即对称变换有如下三种：①及相应的；②及相应的；③及相应的.对称矩阵合同对角化方法对进行对称变换：先作倍列加化所在部分的第一个对角元素为非零，再作一次相应的行初等变换（这使这个非零对角元素变为2倍，而第一行其余元素只要改成与第一列对称就可以了）；再利用这个非零对角元素的倍数作倍列加化所在部分的第一行对角元素后面的所有元素都为零，每次列初等变换都要作一次相应的行初等变换（这只要把所在部分的对角线下方元素改成与对角线上方元素对称就可以了）；这样所在部分的第一个对角元素就变好了；再对所在部分的第二个对角元素，

8、进行上述过程，一直到所在部分的每一个对角元素都变好了，就把所在部分化成了对角矩阵，则所在部分就相应的变为所用的可逆矩阵了.因此上述对称变换过程中的化对角元素为非零的两次初等变换可以同时进行，写成一步.每次化所在部分的对角元素后面的所有元素都为零所作的倍列加，和把所在部分的对角线下方元素改成与对角线上方元素对称所作的相应的行初等变换也可以同时进行，写成一步.例2设，利用对称变换法求可逆矩阵，使为对角矩阵.解由，因此