3.理：数列的化归2

《3.理：数列的化归2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§2．数列的化归与分析【知识梳理】1．两个恒等式①等差恒等式(裂项求和)：“＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＋”例1．已知数列{}的首项＝1，当n≥2时，＝＋2，求通项公式．②等比恒等式(裂项求积)：“＝···…···”例2．已知数列{}的首项＝1，当n≥2时，＝，求通项公式．2．常数列：＝，∴．所以：数列{}是常数列．得＝1·＝1，所以：＝．又如：．2．构造新数列：等差、等比数列是主干知识，对于一个非等差、等比数列，通过我适当的化归转换为等差、等比数列的新数列，是高考永恒主题．①；②；③；④＝；⑤＝＝＝＋2．3．数列是特殊的函数，其自变量为正整数．

2、如没有意义，但有意义．①整数、整除分析法：分解为“整数＋分数”形式．②等差、等比分析法：等差、等比数列中的项是由对应的函数决定的，并且自变量是正整数，成为命题的切入点．③奇、偶分析法：数列的自变量n是正整数，按被2除的余数分类为0(偶数)，1(奇数)，当负1的n次幂出现时，奇、偶分类成为必然的方法．④简单化原则，有理分析法与反证法．【主干知识解析】1．（2010、重庆、理21）在数列中，，其中实数．（1）求的通项公式；（2）若对一切有，求的取值范围．解：解：由，，，猜测．下用数学归纳法证明．当时，等式成立；假设当时，等式成立，即，则当时，，综上，对任何都成立.又

3、解：由原式得．令，则．当时，，因此，．又当时上式成立．（2）解：由，因，所以．，或．①先讨论时的情况，易知．因为，所以有：，因此由对一切成立得．②当时，显然．又因为单调递增，所以对一切成立．因此由对一切成立得：．从而的取值范围为．又解：，所以对恒成立．记，下分三种情况讨论．①当，即或时，代入验证可知只有满足要求；②当时，抛物线开口向下，因此当正整数充分大时，，不符合题意，此时无解；③当，即或时，抛物线开口向上，其对称轴必在直线的左边.因此，在上是增函数．所以要使对恒成立，只需即可．由解得或．结合或得或．综合以上三种情况，的取值范围为．2．（2010、新课标、理1

4、7）设数列满足·．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．解：（1）当时，，又，所以．（2）由知：①②①－②：，即．3．（2010、全国1、理22）已知数列中，．（1）设，，求数列的通项公式；（2）求使成立的的取值范围．解：（1），，所以，所以是首项为，公比为4的等比数列．，即．（2）．又．用数学归纳法证明：当时．①当时，，命成立；②设当时，，则当时，．由①、②知，当c>2时，．当时，令，由，得．当时，．当时，，且于是，当时，，因此不符合要求．所以c的取值范围是．4．（2011、浙江、理19）已知公差不为0的等差数列的首项为()，设数列的前项和为，且

5、，，成等比数列．（1）求数列的通项公式及；（2）记…，．当时，试比较与的大小．解：（1）设公差为，，由·．因为．故通项公式．，．（2），·．当时，，所以：．所以：时，，时，．5．（2011、山东、理20）等比数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，，，中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的前n项和．解：(1)当时，不合题意．当时，当且仅当，时，符合题意．当时，不合题意．因此．所以公比，·．(2)因为····．①当时，②当时，＋．综上所述，．6．

6、（2011、江苏、T20）设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项和为．已知对任意整数，当整数时，都成立．(1)设，求的值；(2)设，时，求数列的通项公式．解：（1）当时，，即，又，所以当时，．（2）当，且时，，且．两式相减得，即．所以当时，成等差数列，且也成等差数列．从而当时，（*）．且，所以当时，．即，所以当时，成等差数列，从而，故由（*）式知，即．当时，设．当时，，从而由（*）式知，故．从而，于是．因此，对任意都成立，又由可知，且．解得．因此，数列为等差数列，由知：．所以数列的通项公式为．7．（07、江苏）已知是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的

7、前项和．（1）若是大于的正整数，求证：；解：设的公差为，由，知，其中：．（1）由．【（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项】解：，由或．∵，∴．又∵是正整数，∴是整数是整数．下证：数列中任意一项，都是数列中的项．若＝－1．数列中任意一项，都是数列中的项．显然．否则：＝＝＝1，与矛盾．若，与题设不合；当时，，由＝．→现在只要证明存在正整数，使得在方程＝中的有正整数解即可．在方程：中的有正整数解即可．为正整数当时，与数列中的第“”项相等，从而结论成立．【（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明

8、；若不存在，请说明理由】