3.理:数列的化归2

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1、§2.数列的化归与分析【知识梳理】1.两个恒等式①等差恒等式(裂项求和):“=(-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)+”例1.已知数列{}的首项=1,当n≥2时,=+2,求通项公式.②等比恒等式(裂项求积):“=···…···”例2.已知数列{}的首项=1,当n≥2时,=,求通项公式.2.常数列:=,∴.所以:数列{}是常数列.得=1·=1,所以:=.又如:.2.构造新数列:等差、等比数列是主干知识,对于一个非等差、等比数列,通过我适当的化归转换为等差、等比数列的新数列,是高考永恒主题.①;②;③;④=;⑤===+2.3.数列是特殊的函数,其自变量为正整数.

2、如没有意义,但有意义.①整数、整除分析法:分解为“整数+分数”形式.②等差、等比分析法:等差、等比数列中的项是由对应的函数决定的,并且自变量是正整数,成为命题的切入点.③奇、偶分析法:数列的自变量n是正整数,按被2除的余数分类为0(偶数),1(奇数),当负1的n次幂出现时,奇、偶分类成为必然的方法.④简单化原则,有理分析法与反证法.【主干知识解析】1.(2010、重庆、理21)在数列中,,其中实数.(1)求的通项公式;(2)若对一切有,求的取值范围.解:解:由,,,猜测.下用数学归纳法证明.当时,等式成立;假设当时,等式成立,即,则当时,,综上,对任何都成立.又

3、解:由原式得.令,则.当时,,因此,.又当时上式成立.(2)解:由,因,所以.,或.①先讨论时的情况,易知.因为,所以有:,因此由对一切成立得.②当时,显然.又因为单调递增,所以对一切成立.因此由对一切成立得:.从而的取值范围为.又解:,所以对恒成立.记,下分三种情况讨论.①当,即或时,代入验证可知只有满足要求;②当时,抛物线开口向下,因此当正整数充分大时,,不符合题意,此时无解;③当,即或时,抛物线开口向上,其对称轴必在直线的左边.因此,在上是增函数.所以要使对恒成立,只需即可.由解得或.结合或得或.综合以上三种情况,的取值范围为.2.(2010、新课标、理1

4、7)设数列满足·.(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前n项和.解:(1)当时,,又,所以.(2)由知:①②①-②:,即.3.(2010、全国1、理22)已知数列中,.(1)设,,求数列的通项公式;(2)求使成立的的取值范围.解:(1),,所以,所以是首项为,公比为4的等比数列.,即.(2).又.用数学归纳法证明:当时.①当时,,命成立;②设当时,,则当时,.由①、②知,当c>2时,.当时,令,由,得.当时,.当时,,且于是,当时,,因此不符合要求.所以c的取值范围是.4.(2011、浙江、理19)已知公差不为0的等差数列的首项为(),设数列的前项和为,且

5、,,成等比数列.(1)求数列的通项公式及;(2)记…,.当时,试比较与的大小.解:(1)设公差为,,由·.因为.故通项公式.,.(2),·.当时,,所以:.所以:时,,时,.5.(2011、山东、理20)等比数列中,,,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且,,,中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足:,求数列的前n项和.解:(1)当时,不合题意.当时,当且仅当,时,符合题意.当时,不合题意.因此.所以公比,·.(2)因为····.①当时,②当时,+.综上所述,.6.

6、(2011、江苏、T20)设为部分正整数组成的集合,数列的首项,前项和为.已知对任意整数,当整数时,都成立.(1)设,求的值;(2)设,时,求数列的通项公式.解:(1)当时,,即,又,所以当时,.(2)当,且时,,且.两式相减得,即.所以当时,成等差数列,且也成等差数列.从而当时,(*).且,所以当时,.即,所以当时,成等差数列,从而,故由(*)式知,即.当时,设.当时,,从而由(*)式知,故.从而,于是.因此,对任意都成立,又由可知,且.解得.因此,数列为等差数列,由知:.所以数列的通项公式为.7.(07、江苏)已知是等差数列,是公比为的等比数列,,记为数列的

7、前项和.(1)若是大于的正整数,求证:;解:设的公差为,由,知,其中:.(1)由.【(2)若是某一正整数,求证:是整数,且数列中每一项都是数列中的项】解:,由或.∵,∴.又∵是正整数,∴是整数是整数.下证:数列中任意一项,都是数列中的项.若=-1.数列中任意一项,都是数列中的项.显然.否则:===1,与矛盾.若,与题设不合;当时,,由=.→现在只要证明存在正整数,使得在方程=中的有正整数解即可.在方程:中的有正整数解即可.为正整数当时,与数列中的第“”项相等,从而结论成立.【(3)是否存在这样的正数,使等比数列中有三项成等差数列?若存在,写出一个的值,并加以说明

8、;若不存在,请说明理由】

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